Vamos resolver passo a passo: 1. A temperatura é dada por: \( T(x,y) = 400x^2 + y^2 + 2 \) 2. Para encontrar a direção de maior aumento da temperatura no ponto (2,2), precisamos calcular o gradiente de \( T \), que é o vetor das derivadas parciais: \[ \nabla T = \left( \frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y} \right) \] 3. Calcule as derivadas parciais: \[ \frac{\partial T}{\partial x} = 800x \] \[ \frac{\partial T}{\partial y} = 2y \] 4. Avalie no ponto (2,2): \[ \frac{\partial T}{\partial x} (2,2) = 800 \times 2 = 1600 \] \[ \frac{\partial T}{\partial y} (2,2) = 2 \times 2 = 4 \] 5. O vetor gradiente no ponto (2,2) é: \[ \nabla T (2,2) = (1600, 4) \] 6. A direção de maior aumento da temperatura é na direção do vetor gradiente. Para indicar apenas a direção, podemos normalizar esse vetor: \[ \|\nabla T\| = \sqrt{1600^2 + 4^2} \approx \sqrt{2.560.000 + 16} = \sqrt{2.560.016} \approx 1600 \] Portanto, a direção unitária é aproximadamente: \[ \left( \frac{1600}{1600}, \frac{4}{1600} \right) = (1, 0,0025) \] Resposta: A direção que deve ser tomada no ponto (2,2) para que a temperatura aumente mais rápido é na direção do vetor \(\mathbf{v} = (1600, 4)\), ou aproximadamente na direção quase horizontal para a direita, com um pequeno componente vertical para cima.