Vamos analisar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada C com a integral dupla sobre a região D delimitada por C. O Teorema de Green diz: \[ \oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA \] Agora, vamos verificar as alternativas: A. \(\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial P}{\partial x} - \frac{\partial Q}{\partial y} \right) dA\) — incorreta, pois os parciais estão invertidos e com sinais errados. B. \(\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial P}{\partial x} \right) dA\) — incorreta, soma dos parciais não corresponde ao teorema. C. \(\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \frac{\partial (P + Q)}{\partial x \partial y} dA\) — incorreta, derivada mista não faz parte do teorema. D. \(\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} + \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA\) — incorreta, soma dos parciais. E. \(\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA\) — correta, corresponde exatamente ao Teorema de Green. Resposta correta: alternativa E.