Na geometria analítica e no cálculo diferencial, as equações do plano desempenham um papel essencial na representação de superficies e suas interações com o espaço tridimensional. Em particular, o plano tangente é uma ferramenta fundamental para analisar superficies suaves, permitindo aproximar localmente uma superficie por meio de um plano linear. Esse conceito é amplamente utilizado em diversas áreas da ciência e engenharia, como na modelagem de superficies em gráficos 3D, no estudo da óptica e até no design de estruturas arquitetônicas. No cálculo, o plano tangente a uma superficie em um ponto específico pode ser obtido a partir do gradiente da função que define a superficie. o gradiente fornece a direção normal ao plano, permitindo construir sua equação. Esse processo simplifica a análise de superficies curvas, fornecendo aproximações lineares úteis para resolver problemas de otimização e estabilidade. Agora, aplicando esse conceito, determine a equação do plano tangente que toca a superficie Z = x² + y² + 4 no ponto P(2,0,8)

Question

Na geometria analítica e no cálculo diferencial, as equações do plano desempenham um papel essencial na representação de superficies e suas interaç...

Ed · Answer

Vamos resolver passo a passo a equação do plano tangente à superfície $ Z = x^2 + y^2 + 4 $ no ponto $ P(2,0,8) $.

1. **Verificar o ponto na superfície:**

Substituindo $ x=2 $ e $ y=0 $:

$$
   Z = 2^2 + 0^2 + 4 = 4 + 0 + 4 = 8
   $$

O ponto $ P(2,0,8) $ está na superfície, ok.

2. **Encontrar o gradiente da função $ f(x,y) = x^2 + y^2 + 4 $:**

$$
   \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (2x, 2y)
   $$

3. **Calcular o gradiente no ponto $ (2,0) $:**

$$
   \nabla f(2,0) = (2 \times 2, 2 \times 0) = (4, 0)
   $$

4. **Equação do plano tangente:**

A fórmula do plano tangente a $ z = f(x,y) $ no ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ é:

$$
   z = z_0 + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)
   $$

Substituindo:

$$
   z = 8 + 4(x - 2) + 0 \times (y - 0)
   $$

$$
   z = 8 + 4(x - 2)
   $$

$$
   z = 8 + 4x - 8 = 4x
   $$

5. **Equação final do plano tangente:**

$$
   z = 4x
   $$

Ou, rearranjando para forma geral:

$$
z - 4x = 0
$$

---

**Resposta:** A equação do plano tangente à superfície $ z = x^2 + y^2 + 4 $ no ponto $ (2,0,8) $ é

$$
z = 4x
$$

ou

$$
z - 4x = 0
$$

Inglês

Respostas

Ainda com dúvidas?

Perguntas dessa disciplina

O vetor gradiente é uma ferramenta fundamental no cálculo diferencial formado pelas derivadas parciais de uma função e indica a direção em que a funçã

O dimensionamento de uniões permanentes por meio de rebites exige a análise das espessuras das chapas e dos tipos de esforços mecânicos atuantes no...

A transmissão de potência mecânica por elementos rotativos, como engrenagens, polias e eixos de transmissão, baseia-se nas propriedades cinemáticas do

Questão 8/10 - Topografia e Geoprocessamento Ler em voz altaO desenho técnico de topografia consiste em representar as medidas do terreno em escalas u

Conteúdos escolhidos para você

Geometria Diferencial

Av1 - Cálculo Diferencial e Integral III

Geometria Analítica na Engenharia

Cálculo Vetorial

Mais conteúdos dessa disciplina