Vamos resolver passo a passo. Dada a função: \[ f(x,y,z) = xy + yz + zx \] As variáveis dependem de \( s \) e \( t \) assim: \[ x = s \cos t, \quad y = s \sin t, \quad z = s + t \] Queremos determinar \(\frac{df}{ds}\) no ponto \( t=0 \) e \( s=2 \). --- Passo 1: Calcular as derivadas parciais de \( f \) em relação a \( x, y, z \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = y + z \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = x + z \] \[ \frac{\partial f}{\partial z} = x + y \] --- Passo 2: Calcular as derivadas de \( x, y, z \) em relação a \( s \): \[ \frac{dx}{ds} = \cos t \] \[ \frac{dy}{ds} = \sin t \] \[ \frac{dz}{ds} = 1 \] --- Passo 3: Avaliar \( x, y, z \) no ponto \( s=2, t=0 \): \[ x = 2 \cdot \cos 0 = 2 \cdot 1 = 2 \] \[ y = 2 \cdot \sin 0 = 2 \cdot 0 = 0 \] \[ z = 2 + 0 = 2 \] --- Passo 4: Avaliar as derivadas parciais de \( f \) no ponto: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = y + z = 0 + 2 = 2 \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = x + z = 2 + 2 = 4 \] \[ \frac{\partial f}{\partial z} = x + y = 2 + 0 = 2 \] --- Passo 5: Avaliar as derivadas de \( x, y, z \) em relação a \( s \) no ponto \( t=0 \): \[ \frac{dx}{ds} = \cos 0 = 1 \] \[ \frac{dy}{ds} = \sin 0 = 0 \] \[ \frac{dz}{ds} = 1 \] --- Passo 6: Aplicar a regra da cadeia para \(\frac{df}{ds}\): \[ \frac{df}{ds} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{ds} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{ds} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{dz}{ds} \] Substituindo os valores: \[ \frac{df}{ds} = 2 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2 + 0 + 2 = 4 \] --- Resposta correta: d) 4