Métodos Quantitativos Aplicados

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Gabarito Comentado: Lista de Exercícios 1
Métodos Quantitativos Aplicados I
Prof. Lucas Carvalho
Cedeplar/FACE - UFMG
Bloco I: Análise Bidimensional e Correlação
1. Limitações da Covariância: Um analista calculou a covariância entre o PIB
(em Reais) e o volume de exportações (em Reais) do Brasil, obtendo um número
extremamente alto. Ele conclui que a relação é perfeitamente linear. Explique por
que a covariância não permite tirar conclusões sobre a força da relação e qual métrica
ele deveria usar.
Resposta: A covariância mede apenas a direção da relação (positiva ou negativa).
O seu valor absoluto depende diretamente das unidades de medida (neste caso, a
magnitude dos Reais). Um valor alto não indica necessariamente uma relação forte,
apenas reflete a escala dos dados. Para medir a força da relação linear, o analista
deve utilizar o Coeficiente de Correlação de Pearson (r), que é adimensional
e restrito ao intervalo [−1, 1].
2. Pearson vs. Spearman: Durante o estudo de desigualdade de renda e mortalidade
infantil em 150 países, notou-se a presença de fortes “outliers” (países com renda
per capita discrepante) e uma relação não-linear monotônica. Qual coeficiente de
correlação é mais adequado para essa análise? Justifique.
Resposta: O Coeficiente de Correlação de Spearman é o mais adequado.
Como o Spearman é baseado no ranqueamento (ordem) das observações e não nos
seus valores exatos, ele é muito mais robusto à presença de outliers (países discre-
pantes) e consegue capturar perfeitamente relações não-lineares, desde que sejam
monotônicas (cresçam ou decresçam de forma consistente).
3. Correlação Espúria: Em um estudo internacional, encontrou-se uma correlação
de r = 0, 92 entre o número de prêmios Nobel de um país e o consumo per capita
de chocolate. Discuta esse resultado à luz do conceito de correlação espúria e cite
qual poderia ser a variável omitida.
Resposta: Trata-se de uma correlação espúria porque a relação matemática não
reflete causalidade (comer chocolate não gera prêmios Nobel). A altíssima correlação
ocorre pela presença de uma variável omitida (terceira variável). Uma candidata
óbvia é o nível de renda/PIB per capita do país: nações mais ricas investem
massivamente em pesquisa (gerando Nobéis) e sua população possui poder aquisitivo
para consumir mais bens não essenciais, como chocolate.
4. Interpretação Gráfica: Considere um diagrama de dispersão onde os pontos for-
mam uma nuvem circular perfeita, sem qualquer inclinação aparente. Qual seria
1
o valor aproximado do Coeficiente de Correlação de Pearson? Isso significa que as
variáveis não possuem nenhuma relação?
Resposta: O coeficiente de Pearson seria r ≈ 0. No entanto, isso não significa
ausência de relação; significa apenas a ausência de relação linear. As variáveis po-
dem estar perfeitamente relacionadas por uma equação não-linear (como a equação
de uma circunferência), conforme ilustrado abaixo.
X
Y
Bloco II: Teoria de Conjuntos e Probabilidade Básica
5. Axiomas de Kolmogorov: Liste os três axiomas fundamentais da probabilidade.
A partir deles, demonstre algebricamente por que a probabilidade de um evento
complementar Ac é dada por 1 − P (A).
Resposta:
• 1º: 0 ≤ P (A) ≤ 1
• 2º: P (Ω) = 1 (A certeza absoluta)
• 3º: Se A ∩ B = ∅, então P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
Demonstração: O evento A e seu complementar Ac são mutuamente exclusivos
(A ∩ Ac = ∅). Juntos, formam todo o espaço amostral (A ∪ Ac = Ω). Pelo 2º
axioma, P (A∪Ac) = 1. Pelo 3º axioma, como não há interseção, P (A)+P (Ac) = 1.
Isolando Ac, temos: P (Ac) = 1 − P (A).
6. Regra da Adição: Em uma cúpula do Mercosul, a probabilidade de aprovação
de redução tarifária (Evento A) é de 55%. A probabilidade de aprovação de livre
trânsito (Evento B) é de 40%. Sabendo que a chance de ambas as pautas serem
aprovadas simultaneamente é de 20%, calcule a probabilidade de que pelo menos
uma das pautas seja aprovada.
Resposta:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
P (A ∪ B) = 0, 55 + 0, 40 − 0, 20 = 0, 75 (ou 75%).
2
7. Técnicas de Contagem: O Conselho de Segurança da ONU precisa formar um
comitê de crise com 3 membros não permanentes. Sabendo que há 10 países elegíveis,
quantas combinações diferentes de comitês podem ser formadas? (Lembre-se: a
ordem dos países no comitê não importa).
Resposta: Como a ordem não importa, usamos a fórmula da Combinação Sim-
ples:
Cn,k =
(︄
n
k
)︄
= n!
k!(n − k)!
Aplicando os valores (n = 10 e k = 3):
C10,3 =
(︄
10
3
)︄
= 10!
3!(10 − 3)! = 10 × 9 × 8 × 7!
3 × 2 × 1 × 7! = 720
6 = 120 comitês possíveis.
8. Mutuamente Exclusivos: Se dois eventos são descritos como mutuamente exclu-
sivos, qual é o valor da interseção P (A ∩ B)? Isso significa que eles são eventos
independentes? Justifique detalhadamente a diferença.
Resposta: Se são mutuamente exclusivos, a interseção é nula: P (A ∩ B) = 0. Eles
não são independentes. Pelo contrário, são eventos extremamente dependentes: a
ocorrência de um dá a certeza absoluta de que o outro não ocorreu.
Bloco III: Probabilidade Condicional e Bayes
9. Tabela de Contingência: Uma amostra de 200 empresas revelou que 120 expor-
tam para a Ásia e 80 não exportam. Das que exportam para a Ásia, 90 possuem
certificação ISO. Das que não exportam, apenas 20 possuem a certificação. Se sor-
tearmos uma empresa com certificação ISO, qual a probabilidade de ela exportar
para a Ásia?
Resposta: O nosso “novo universo” (condição) são as empresas que possuem ISO.
Sabemos que há 90 empresas com ISO que exportam e 20 com ISO que não expor-
tam. Total com ISO = 110.
Queremos: P (Ásia | ISO) = P (Ásia∩ISO)
P (ISO) = 90
110 ≈ 0, 818 (ou 81, 8%).
10. Independência: O Ministério da Fazenda estima que a probabilidade de o país A
entrar em recessão é de 0, 30 e a probabilidade de o país B entrar em recessão é de
0, 40. Se as economias são rigorosamente independentes, qual a probabilidade de
ambos entrarem em recessão simultaneamente?
Resposta: Se os eventos são independentes, significa que a ocorrência de um
não altera a probabilidade do outro ocorrer. Matematicamente, a probabilidade
condicional de A dado B é igual à probabilidade marginal de A (P (A|B) = P (A)).
Por conta dessa propriedade, para descobrirmos a intersecção (a probabilidade de
ambos ocorrerem ao mesmo tempo, A∩B), a Regra da Multiplicação é simplificada:
basta multiplicarmos diretamente as probabilidades individuais de cada evento.
P (A ∩ B) = P (A) × P (B)
P (A ∩ B) = 0, 30 × 0, 40 = 0, 12 (ou 12%)
3
Nota extra: Se os eventos não fossem independentes (economias dependentes), a
ocorrência de recessão no país A poderia gerar um “efeito contágio”, alterando a
chance de recessão no país B. Nesse caso, utilizaríamos a Regra Geral da Multi-
plicação, que incorpora a probabilidade condicional:
P (A ∩ B) = P (A) × P (B|A)
Como a independência garante que P (B|A) = P (B), a fórmula “encolhe” para a
primeira equação que utilizamos.
11. Teorema da Probabilidade Total: Um país pode passar por três cenários eco-
nômicos no próximo ano: Crescimento (B1, 50% de chance), Estabilidade (B2, 30%
de chance) ou Recessão (B3, 20% de chance). A probabilidade de ocorrer uma crise
cambial (Evento A) em cada cenário é de 5%, 15% e 60%, respectivamente. Qual a
probabilidade total de ocorrer uma crise cambial?
Resposta: O Teorema da Probabilidade Total é a combinação elegante da Regra
da Multiplicação com a Regra da Adição.
Primeiro, o problema apresenta três cenários mutuamente exclusivos e exaustivos
(B1, B2, B3). A crise cambial (Evento A) pode acontecer em qualquer um deles.
Para calcular a probabilidade da crise acontecer através de um cenário específico,
usamos a Regra da Multiplicação: P (A ∩ B1) = P (A|B1) × P (B1).
Como os cenários não podem ocorrer ao mesmo tempo, somamos todas essas vias
possíveis utilizando a Regra da Adição para obter a probabilidade total de A:
P (A) = P (A|B1)P (B1) + P (A|B2)P (B2) + P (A|B3)P (B3)
P (A) = (0, 05 × 0, 50) + (0, 15 × 0, 30) + (0, 60 × 0, 20)
P (A) = 0, 025 + 0, 045 + 0, 120 = 0, 19 (ou 19%)
12. Teorema de Bayes:Utilizando os dados da questão anterior, suponha que a crise
cambial de fato ocorreu. Qual é a probabilidade de que o cenário econômico
original fosse o de Recessão (B3)?
Resposta: Queremos P (B3|A).
P (B3|A) = P (A|B3)P (B3)
P (A) = 0,120
0,190 ≈ 0, 6315 (ou 63, 15%).
Bloco IV: Variáveis Aleatórias e Distribuições Discre-
tas
13. Conceito de V.A.: Explique a diferença fundamental entre uma Variável Aleatória
Discreta e uma Variável Aleatória Contínua. Dê um exemplo prático de cada uma
dentro do contexto macroeconômico.
Resposta: Uma V.A. Discreta assume valores em pontos separados (saltos), origi-
nados de processos de contagem (ex: número de tratados assinados por um país).
A V.A. Contínua assume qualquer valor dentro de um intervalo, originada de pro-
cessos de medição (ex: taxa de inflação em porcentagem, que possui casas decimais
infinitas).
4
14. Esperança e Variância (Cálculo): A equipe técnica estima o número de proje-
tos de infraestrutura que receberão financiamento (Variável X). A distribuição é:
P (X = 0) = 0, 10; P (X = 1) = 0, 20; P (X = 2) = 0, 40; P (X = 3) = 0, 30. Calcule
o valor esperado (E[X]) e o desvio padrão.
Resposta:
E[X] = (0×0, 1)+(1×0, 2)+(2×0, 4)+(3×0, 3) = 0+0, 2+0, 8+0, 9 = 1, 90 projetos.
Para a variância, achamos E[X2]:
E[X2] = (02 ×0, 1)+(12 ×0, 2)+(22 ×0, 4)+(32 ×0, 3) = 0+0, 2+1, 6+2, 7 = 4, 50.
V ar(X) = E[X2] − (E[X])2 = 4, 50 − (1, 90)2 = 4, 50 − 3, 61 = 0, 89.
Desvio Padrão =
√
0, 89 ≈ 0, 943 projetos.
15. Interpretação da Esperança: O valor esperado calculado na questão anterior foi
um número quebrado. Sabendo que a variável aleatória só assume valores inteiros,
como você interpreta corretamente esse resultado?
Resposta: O valor de 1,90 não é o que acontecerá neste exato momento (pois não
existe 0, 9 projeto). Ele significa que, se tivéssemos centenas de anos de operação ou
centenas de ministérios idênticos, a média aritmética de longo prazo convergiria
exatamente para 1,90 projetos financiados por tentativa.
16. Função Acumulada (FDA): Utilizando os dados da questão 14, monte a tabela
da Função de Distribuição Acumulada F (x). Qual é o valor de F (1) e o que ele
significa na prática?
Resposta:
F (0) = 0, 10
F (1) = 0, 10 + 0, 20 = 0, 30
F (2) = 0, 30 + 0, 40 = 0, 70
F (3) = 0, 70 + 0, 30 = 1, 00
Interpretação: O valor de F (1) = 0, 30 indica que há 30% de chance de aprovar no
máximo 1 projeto (0 ou 1).
17. Distribuição de Bernoulli: Descreva os parâmetros de um ensaio de Bernoulli.
Se definirmos “Sucesso” como a queda de um gabinete parlamentar (probabilidade
p = 0, 15), qual é a variância dessa variável?
Resposta: A distribuição de Bernoulli é caracterizada por ter apenas dois re-
sultados possíveis (Sucesso/Fracasso) em uma única tentativa. A sua Função de
Probabilidade teórica é:
P (X = x) = px(1 − p)1−x para x ∈ {0, 1}
A fórmula da sua Variância é definida por:
V ar(X) = p · (1 − p)
Aplicando os valores do problema:
V ar(X) = 0, 15 × 0, 85 = 0, 1275.
5
18. Distribuição Binomial: Historicamente, 70% das resoluções de um bloco são
ratificadas (p = 0, 70). Se o bloco propuser 6 resoluções independentes, qual a
probabilidade de aprovar exatamente 4?
Resposta: A Função de Probabilidade teórica da Distribuição Binomial é:
P (X = k) =
(︄
n
k
)︄
· pk · (1 − p)n−k
Aplicando os valores do problema (n = 6, p = 0, 70, k = 4):
P (X = 4) =
(︄
6
4
)︄
· (0, 70)4 · (0, 30)2 = 15 · (0, 2401) · (0, 09) ≈ 0, 3241 (ou 32, 41%).
19. Distribuição de Poisson (Básica): Um terminal aduaneiro registra a chegada
de 3 navios por dia (λ = 3). Qual a probabilidade de que nenhum navio chegue
amanhã? (Utilize e−3 ≈ 0, 0498).
Resposta: λ = 3, k = 0.
P (X = 0) = e−3·30
0! = 0,0498·1
1 = 0, 0498 (ou 4, 98%).
20. Distribuição de Poisson (Proporcionalidade): Utilizando os dados da questão
anterior, qual a probabilidade de o terminal receber exatamente 2 navios em um
turno de 12 horas?
Resposta: A taxa deve ser ajustada para o tempo solicitado. Se chegam 3 em um
dia (24h), em 12 horas chegarão λ = 1, 5 navios.
Queremos k = 2. (Sabendo que e−1,5 ≈ 0, 2231):
P (X = 2) = e−1,5·(1,5)2
2! = 0,2231·2,25
2 ≈ 0, 2510 (ou 25, 10%).
Bloco V: Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição
Normal
21. Probabilidade Pontual: Em uma variável aleatória contínua X, por que afirma-
mos matematicamente que a probabilidade de um ponto exato ocorrer é nula, ou
seja, P (X = c) = 0? O que utilizamos no lugar dos somatórios para calcular a
probabilidade em um intervalo?
Resposta: Porque em uma distribuição contínua a quantidade de pontos possíveis
é infinita (a reta real não tem buracos). Geograficamente, a probabilidade é repre-
sentada pela área sob a curva. Como um ponto exato não possui largura, ele não
possui área. Utilizamos as integrais definidas para calcular a área/probabilidade
dentro de um intervalo numérico.
22. Assimetria e Tendência Central: Em um modelo de fronteira de eficiência ava-
liando 101 hospitais do SUS, notou-se que a distribuição dos escores de eficiência
técnica é contínua. Ao extrair as estatísticas descritivas, o pesquisador observou
que a média das notas foi significativamente menor do que a mediana. Com
base apenas nessas duas medidas, qual é a direção da assimetria dessa distribuição?
Explique.
6
Resposta: A distribuição apresenta uma assimetria negativa (assimetria à
esquerda).
Como verificar a direção da assimetria? A dica é observar para onde a cauda
longa está “puxando” a Média. A Mediana é uma medida de posição robusta (fica
no centro dos dados ordenados). A Média, por outro lado, é extremamente sensível
a valores extremos (outliers):
• Se Média Mediana: A cauda longa está do lado direito (valores muito
altos puxaram a média para cima). Assimetria Positiva.
No caso dos hospitais, os poucos hospitais com notas de eficiência excessivamente
baixas arrastam a média geral para baixo, gerando o comportamento visual ilustrado
na curva abaixo:
Média
Mediana
Escores de Eficiência
Fr
eq
uê
nc
ia
23. Distribuição Normal (Padronização): O tempo de desembaraço aduaneiro de
contêineres em um porto segue uma distribuição Normal com média µ = 48 horas e
desvio padrão σ = 6 horas. Calcule o escore-Z para um contêiner que demorou 60
horas para ser liberado e interprete o que esse valor significa.
Resposta: Z = X−µ
σ
= 60−48
6 = 12
6 = 2.
Interpretação: O valor de Z = 2 significa que este contêiner demorou exatamente 2
desvios padrões acima da média para ser liberado.
24. Distribuição Normal (Probabilidades): Utilizando os dados da questão an-
terior, qual a probabilidade de um contêiner escolhido ao acaso ser liberado em
menos de 48 horas? (Dica: não é necessário o uso da tabela se você lembrar da
propriedade de simetria da curva ou calcular para Z = 0).
Resposta: O tempo de 48 horas corresponde exatamente à média (µ). Como a
curva da Distribuição Normal é perfeitamente simétrica ao redor da média, exatos
50% da área da curva encontram-se abaixo de µ e 50% encontram-se acima. Logo,
a probabilidade é de 0,50 (ou 50%).
25. Cauda da Distribuição: Ainda sobre o desembaraço aduaneiro (µ = 48, σ = 6),
um auditor deseja fiscalizar apenas os 2, 5% dos contêineres que mais demoram a
ser liberados. Sabendo que o escore-Z que delimita os 2, 5% superiores da curva
7
Normal é aproximadamente 1, 96, a partir de quantas horas de atraso um contêiner
entra na lista de fiscalização?
Resposta: Substituindo na fórmula de padronização:
Z = X−µ
σ
=⇒ 1, 96 = X−48
6 =⇒ 11, 76 = X − 48 =⇒ X = 59, 76.
O contêiner deve ser fiscalizado se demorar 59, 76 horas ou mais para ser liberado.
26. Distribuição Normal (Probabilidade em Intervalo): O salário mensal de in-
gresso para analistas internacionais em uma determinada organização intergoverna-
mental é distribuído normalmente com média de µ = US$ 8.000 e desvio padrão de
σ = US$ 1.200. Qual a probabilidade de um analista recém-contratado receber um
salário entre US$ 6.800 e US$ 9.200?(Dica: utilize a regra empírica após encontrar
os escores-Z para 6.800 e 9.200).
Resposta: Primeiro, padronizamos os dois limites do nosso intervalo:
Z1 = 6800 − 8000
1200 = −1, 00
Z2 = 9200 − 8000
1200 = 1, 00
Pela famosa Regra Empírica da distribuição Normal, sabemos diretamente que a
área entre −1 e +1 desvio padrão corresponde a aproximadamente 68, 26%.
Resolvendo com a Tabela Z: A Tabela Z sempre nos fornece a área acumulada
(tudo o que está à esquerda de um ponto). Para calcularmos a área isolada entre dois
pontos, devemos encontrar a área total até o limite superior (Z = 1) e subtrair a área
do limite inferior (Z = −1), ou seja: P (−1 ≤ Z ≤ 1) = P (Z ≤ 1) − P (Z ≤ −1).
• Olhando na Tabela Z para Z = 1, 00 (linha 1.0, coluna 0.00), encontramos a
área acumulada de 0,8413.
• Para achar a área de Z = −1, 00, podemos usar a propriedade da simetria: a
área à esquerda de −1 é idêntica à área à direita de +1. Como a área à direita
de +1 é o complemento (1 − 0, 8413), temos 0,1587.
• Subtraindo as áreas: 0, 8413 − 0, 1587 = 0, 6826 (ou 68, 26%).
27. Distribuição Normal (Inversa / Nota de Corte): Uma prova de proficiência
em idiomas exigida para diplomatas tem notas que seguem uma distribuição Normal
com µ = 500 e σ = 50. O Ministério decide que apenas os candidatos no “top” 16%
das maiores notas serão aprovados para a próxima fase. Sabendo que o escore que
deixa aproximadamente 16% da área na cauda superior direita é Z ≈ 1, determine
qual deve ser a nota mínima de corte para aprovação.
Resposta: Queremos encontrar o valor original X sabendo que ele está posicionado
no escore Z = 1. Isolando X na fórmula da padronização:
Z = X−µ
σ
=⇒ 1 = X−500
50 =⇒ 50 = X − 500 =⇒ X = 550.
A nota mínima de corte para aprovação deve ser 550 pontos.
8
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890
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