Vamos resolver passo a passo a área de uma pétala da rosácea dada por \(\rho \leq \cos(2\theta)\) no intervalo \(-\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\). 1. Fórmula da área em coordenadas polares: A área \(A\) de uma região delimitada por \(\rho = r(\theta)\) entre \(\theta = a\) e \(\theta = b\) é dada por: \[ A = \frac{1}{2} \int_a^b [r(\theta)]^2 d\theta \] 2. Aplicando a fórmula: Aqui, \(r(\theta) = \cos(2\theta)\), \(a = -\frac{\pi}{4}\), \(b = \frac{\pi}{4}\). \[ A = \frac{1}{2} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos^2(2\theta) d\theta \] 3. Simplificando o integrando: Use a identidade trigonométrica: \[ \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \] Logo, \[ \cos^2(2\theta) = \frac{1 + \cos(4\theta)}{2} \] 4. Substituindo na integral: \[ A = \frac{1}{2} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{1 + \cos(4\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{4} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} [1 + \cos(4\theta)] d\theta \] 5. Calculando a integral: \[ \int_{-\pi/4}^{\pi/4} 1 \, d\theta = \left[ \theta \right]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2} \] \[ \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos(4\theta) d\theta = \left[ \frac{\sin(4\theta)}{4} \right]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \frac{\sin(\pi)}{4} - \frac{\sin(-\pi)}{4} = 0 - 0 = 0 \] 6. Resultado final: \[ A = \frac{1}{4} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8} \] Resposta: A área de uma pétala da rosácea é \(\boxed{\frac{\pi}{8}}\).