Considere um ponto P no plano com coordenadas cartesianas (x,y) e coordenadas polares (r,θ), onde r ≥ 0 e θ ∈ [0,2π). Sabendo que x=r.cosθ e y = rsen

Question

Considere um ponto P no plano com coordenadas cartesianas (x,y) e coordenadas polares (r,θ), onde r ≥ 0 e θ ∈ [0,2π). Sabendo que x=r.cosθ e y = rsen θ, assinale a alternativa que apresenta corretamente a equação polar da circunferência (x−2)²+y² = 4. Questão 1Resposta a. r=4cosθ b. r=2cosθ c. r=4 d. r = 2sen θ e. r = 4sen θ

Ed · Answer

Vamos resolver passo a passo.

Dada a circunferência:  
$$
(x - 2)^2 + y^2 = 4
$$

Sabemos que:  
$$
x = r \cos \theta \quad \text{e} \quad y = r \sin \theta
$$

Substituindo na equação da circunferência:  
$$
(r \cos \theta - 2)^2 + (r \sin \theta)^2 = 4
$$

Expandindo:  
$$
(r \cos \theta)^2 - 2 \cdot 2 \cdot r \cos \theta + 4 + r^2 \sin^2 \theta = 4
$$

$$
r^2 \cos^2 \theta - 4 r \cos \theta + 4 + r^2 \sin^2 \theta = 4
$$

Note que:  
$$
r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta = r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = r^2
$$

Então:  
$$
r^2 - 4 r \cos \theta + 4 = 4
$$

Subtraindo 4 dos dois lados:  
$$
r^2 - 4 r \cos \theta = 0
$$

Fatorando:  
$$
r (r - 4 \cos \theta) = 0
$$

Como $r \geq 0$, a solução é:  
$$
r = 4 \cos \theta
$$

Portanto, a alternativa correta é:  
**a) r = 4 \cos \theta**

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