Um mosaico no formato de polígono regular foi confeccionado com 170 diagonais. Determine a medida do ângulo interno desse mosaico.

Vamos resolver passo a passo: 1. Sabemos que o número de diagonais \(D\) de um polígono com \(n\) lados é dado por: \[ D = \frac{n(n-3)}{2} \] 2. Foi dado que \(D = 170\), então: \[ 170 = \frac{n(n-3)}{2} \] Multiplicando ambos os lados por 2: \[ 340 = n(n-3) \] \[ n^2 - 3n - 340 = 0 \] 3. Resolvendo a equação quadrática: \[ n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4 \times 340}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{1369}}{2} = \frac{3 \pm 37}{2} \] 4. As soluções são: \[ n = \frac{3 + 37}{2} = 20 \quad \text{ou} \quad n = \frac{3 - 37}{2} = -17 \] Como o número de lados não pode ser negativo, \(n = 20\). 5. A medida do ângulo interno \(A\) de um polígono regular com \(n\) lados é: \[ A = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} \] Substituindo \(n=20\): \[ A = \frac{(20-2) \times 180^\circ}{20} = \frac{18 \times 180^\circ}{20} = \frac{3240^\circ}{20} = 162^\circ \] Resposta: A medida do ângulo interno do mosaico é 162°.