Esfera ( parece fácil, mas é um pouco complicado) que responde?

Como a esfera está inscrita em um cilindro, sabemos que o raio da base do cilindro é igual ao raio da esfera e a altura do cilindro é duas vezes o raio.

Pelo problema, V_cilindro – V_esfera=18∏ ⇒

∏r^2.h–4/3∏r^3=18∏, como h=2r então:

2∏r^3–4/3∏r^3=18⇒r=3, assim o diâmetro=6.

Se o cilindro é equilátero, sua altura é igual ao diâmetro da base, ou seja:

\(\Longrightarrow h=D\)

\(\Longrightarrow h=2r\)

Portanto, o volume \(V_{cil}\) do cilindro é:

\(\Longrightarrow V_{cil} = \pi r^2h\)

\(\Longrightarrow V_{cil} = \pi r^2(2r)\)

\(\Longrightarrow V_{cil} = 2\pi r^3\)      \((I)\)

O volume \(V_{esf}\) da esfera é:

\(\Longrightarrow V_{esf} = {4 \over 3}\pi r^3\)   \((II)\)

Pelo enunciado, tem-se a seguinte equação:

\(\Longrightarrow V_{cil} =V_{esf}+18 \pi\)

Substituindo as equações \((I)\) e \((II)\) na equação anterior, o valor do raio \(r\) (tanto do cilindro quanto da esfera) é:

\(\Longrightarrow 2 \pi r^3 ={4 \over 3} \pi r^3+18 \pi\)

\(\Longrightarrow {2 \over 3} \pi r^3 = 18 \pi\)

\(\Longrightarrow r^3 = {3 \over 2}18 \)

\(\Longrightarrow r^3 = 27\)

\(\Longrightarrow r=3 \,\, \mathrm {cm}\)

Portanto, o diâmetro \(D\) da esfera (e do cilindro) é:

\(\Longrightarrow D=2r\)

\(\Longrightarrow D=2 \cdot 3\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ D=6 \,\, \mathrm {cm} $}\)

Resposta correta: letra e).