Como calcular esse limite?

lim(3x²+x+1)/(x²-1) =          lim          3x²    (1+ 1/3x + 1/3x²  )    = lim  3  = 3

x⇒∞                                    x⇒∞        x²        (1  -  1/x²   )              x⇒∞

Temos uma indeterminação do tipo Infinito / Infinito. Basta derivar em cima e embaixo, por L'Hospital, até que a indeterminação não aconteça mais:

\(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + x + 1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{6x + 1}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{2} = \boxed{3} \\\)