〖lim〗tende(x→2) (x^2-6x+8)/(x^2-9x+14)

Δ= (-6)² - 4 (1)(8)= 36 - 32 = 4

x= -(-6) ± √4 / 2 = X1= 4    X2= 2

Δ= (-9)² - 4 (1)(14)= 81 - 25 = 25

x = -(-9) ± √25 / 2 = X1= 7   X2= 2

lim x→2 ( x - 4) (x - 2) / (x - 7) (x - 2)    CORTA O( X - 2)COM O (X - 2)

lim x→2 ( x -4)/ (x-7) = 2-4 / 2-7 = -2/-5 = 2/5

Esse limite é uma indeterminação do tipo 0/0 e com isso podemos usar a regra de L'hopital que consiste derivar o numerador e denominador e então aplicar o limite.

Assim:

\(lim_{\rightarrow2}\frac{x^2-6x+8}{x^2-9x+14}=lim_{\rightarrow2}\frac{(x^2-6x+8)'}{(x^2-9x+14)'}\)

\((x^2-6x+8)'=2x-6\)

\((x^2-9x+14)'=2x-9\)

Substituindo:

\(lim_{\rightarrow2}\frac{2x-6}{2x-9}\)

Aplicando o limite:

\(lim_{\rightarrow2}\frac{2x-6}{2x-9}=\frac{2.2-6}{2.2-9}=\boxed{\frac{2}{5}}\)