ajuda inequações modulares

Question

galera como posso resolver isso, |x+1| dividido por |2x-1| sendo menor que 1.estou com dúvida como coeçar a resolver.

Cleison Pereira Negreiros · Answer

Bom dia Alisson. É sempre bom compreendermos primeiro as definições que podem nos ajudar a resolver o problema.

(1) Definição de módulo:

|x| = x, se x ≥ 0
-x, se x < 0

(2) Analisando |x+1|.

x + 1 >= 0

x >= -1

Logo se x>= -1, |x+1| = x + 1

Se x< -1, |x+1| = -(x + 1) = -x -1

(3) Analisando |2x-1|.

2x -1 >0

x > 1/2

Logo se x > 1/2, |2x-1| = 2x -1

Se x < 1/2, |2x-1| = 1 -2x

(4) Para x menor que 1 entramos em três casos diferentes.

(I) x < -1

(|x+1| / |2x-1| )= -(x + 1) / -(2x -1)

(II) -1 <= x < 1/2

(|x+1| / |2x-1| ) = (x+1) / -(2x + 1)

(III) 1/2 < x < 1

(|x+1| / |2x-1| ) = (x + 1) / (2x -1)

Obs1.: x=1/2 não está no dominio da função pois quando x assume esse valor o denominador zera.

Obs2.: <= e >= são respectivamente; menor ou igual e maior ou igual.

Obs3.: Posso ter cometido algum erro no desenvolvimento, a principio me parece correto, mas de qualquer forma caso note algum erro corrija-o. O mais importante é o desenvolvimento que foi usado nessa quesão e que pode ser usado de forma semelhante em outras questões. Até mais!

Thays Resende Achucarro · Answer

Reescrevendo a inequação: $\begin{vmatrix} \frac{x+1}{2x-1} \end{vmatrix} < 1$ Vamos resolver esse exercício em partes. Primeiro vamos relembrar de uma propriedade das inequações modulares que afirma o seguinte: $| x | < a \Leftrightarrow -a < x < a$ Tendo isso em mente vamos reescrever a inequação e separar as partes para resolvermos o exercício: $-1 < \frac{x+1}{2x-1} < 1$ 1º parte: Primeiro vamos resolver um pedaço da inequação e guardar os possíveis resultados: $-1 < \frac{x+1}{2x-1}$ $ \frac{x+1}{2x-1} > -1$ $ \frac{x+1}{2x-1} + 1 > 0$ $ \frac{x+1+2x-1}{2x-1} > 0$ $ \frac{3x}{2x-1}> 0$ Agora vamos analisar somente o denominador que possui uma restrição especial, ele não pode ser igual a 0. $2x-1 \neq 0$ $2x \neq 1$ $x \neq \frac{1}{2}$ Agora vamos analisar o numerador: $3x > 0$ $x > 0$ Com essas informações vamos montar o conjunto de resultados possíveis para essa inequação e fazer a intersecção entre eles para obter o resultado dessa primeira parte da resolução: $======\circ======$ $\frac{1}{2}$ $\_\_\_\_\_\_\circ========$ $0$ Onde = representa a parte que está inclusa no conjunto. Logo o resultado da intersecção entre esses dois conjuntos é: $\_\_\_\_\_\_\circ=\circ======$ $0$ $\frac{1}{2}$ Em notação de conjuntos isso seria: $x=\{ x \in R \mid x>0, x\neq\frac{1}{2} \}$ 2º parte: Agora vamos analisar a segunda parte da inequação: $\frac{x+1}{2x-1} < 1$ $\frac{x+1}{2x-1} - 1< 0$ $\frac{x+1-2x+1}{2x-1}< 0$ $\frac{-x+2}{2x-1}< 0$ Vamos analisar somente o denominador novamente, pois ele possui uma restrição especial, ele não pode ser igual a 0. $2x-1 \neq 0$ $2x \neq 1$ $x \neq \frac{1}{2}$ Agora vamos analisar o numerador: $-x+2<0$ $-x<-2$ $x>2$ Com essas informações vamos montar o conjunto de resultados possíveis para essa inequação e fazer a intersecção entre eles para obter o resultado $======\circ======$ $\frac{1}{2}$ $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\circ==$ $2 $ Onde = representa a parte que está inclusa no conjunto. Logo o resultado da intersecção entre esses dois conjuntos é: $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\circ==$ $2 $ Em notação de conjuntos isso seria: $x=\{ x \in R \mid x>2 \}$ 3º parte: Agora na terceira parte da resolução nós precisamos apenas fazer a intersecção do resultado das duas partes anteriores: $\_\_\_\_\_\_\circ=\circ======$ $0$ $\frac{1}{2}$ $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\circ==$ $2 $ Como podemos observar, os valores pertencentes aos dois conjuntos são os números reais maiores que 2, assim o resultado da intersecção é: $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\circ==$ $2 $ Em notação de conjuntos isso seria: $x=\{ x \in R \mid x>2 \}$ Assim, podemos afirmar que os valores possíveis valores para a inequação que respeite todas as restrições estão contidos no conjunto: $x=\{ x \in R \mid x>2 \}$

RD Resoluções · Answer

Reescrevendo a inequação: $\begin{vmatrix} \frac{x+1}{2x-1} \end{vmatrix} < 1$ Vamos resolver esse exercício em partes. Primeiro vamos relembrar de uma propriedade das inequações modulares que afirma o seguinte: $| x | < a \Leftrightarrow -a < x < a$ Tendo isso em mente vamos reescrever a inequação e separar as partes para resolvermos o exercício: $-1 < \frac{x+1}{2x-1} < 1$ 1º parte: Primeiro vamos resolver um pedaço da inequação e guardar os possíveis resultados: $-1 < \frac{x+1}{2x-1}$ $ \frac{x+1}{2x-1} > -1$ $ \frac{x+1}{2x-1} + 1 > 0$ $ \frac{x+1+2x-1}{2x-1} > 0$ $ \frac{3x}{2x-1}> 0$ Agora vamos analisar somente o denominador que possui uma restrição especial, ele não pode ser igual a 0. $2x-1 \neq 0$ $2x \neq 1$ $x \neq \frac{1}{2}$ Agora vamos analisar o numerador: $3x > 0$ $x > 0$ Com essas informações vamos montar o conjunto de resultados possíveis para essa inequação e fazer a intersecção entre eles para obter o resultado dessa primeira parte da resolução: $======\circ======$ $\frac{1}{2}$ $\_\_\_\_\_\_\circ========$ $0$ Onde = representa a parte que está inclusa no conjunto. Logo o resultado da intersecção entre esses dois conjuntos é: $\_\_\_\_\_\_\circ=\circ======$ $0$ $\frac{1}{2}$ Em notação de conjuntos isso seria: $x=\{ x \in R \mid x>0, x\neq\frac{1}{2} \}$ 2º parte: Agora vamos analisar a segunda parte da inequação: $\frac{x+1}{2x-1} < 1$ $\frac{x+1}{2x-1} - 1< 0$ $\frac{x+1-2x+1}{2x-1}< 0$ $\frac{-x+2}{2x-1}< 0$ Vamos analisar somente o denominador novamente, pois ele possui uma restrição especial, ele não pode ser igual a 0. $2x-1 \neq 0$ $2x \neq 1$ $x \neq \frac{1}{2}$ Agora vamos analisar o numerador: $-x+2<0$ $-x<-2$ $x>2$ Com essas informações vamos montar o conjunto de resultados possíveis para essa inequação e fazer a intersecção entre eles para obter o resultado $======\circ======$ $\frac{1}{2}$ $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\circ==$ $2 $ Onde = representa a parte que está inclusa no conjunto. Logo o resultado da intersecção entre esses dois conjuntos é: $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\circ==$ $2 $ Em notação de conjuntos isso seria: $x=\{ x \in R \mid x>2 \}$ 3º parte: Agora na terceira parte da resolução nós precisamos apenas fazer a intersecção do resultado das duas partes anteriores: $\_\_\_\_\_\_\circ=\circ======$ $0$ $\frac{1}{2}$ $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\circ==$ $2 $ Como podemos observar, os valores pertencentes aos dois conjuntos são os números reais maiores que 2, assim o resultado da intersecção é: $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\circ==$ $2 $ Em notação de conjuntos isso seria: $x=\{ x \in R \mid x>2 \}$ Assim, podemos afirmar que os valores possíveis valores para a inequação que respeite todas as restrições estão contidos no conjunto: $x=\{ x \in R \mid x>2 \}$

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