determine as assintotas da funcao f(x)= 2x-x²/x²-4

Pelo jeito que tá escrito parece que sua função é

                     x²
f(x) = 2x - ----------
                  x² - 4

Mas eu acho que tinha parênteses lá em cima, e a função que você quer é

           2x - x²
f(x) = ----------
            x² - 4

Eu vou tentar resolver para essa. Se for realmente o primeiro caso, me avisa que eu faço de novo.

Primeira coisa, dá para reescrever a sua função como:

           2x - x²          x(2 - x)             -x(x - 2)
f(x) = ---------- = ----------------- = -----------------
            x² - 4      (x + 2)(x - 2)      (x + 2)(x - 2)

Para achar as assíntotas verticais, primeiro a gente tem que pesquisar para quais valores de x esse negócio todo iria para infinito. Nesse caso, onde o denominador iria para 0. Como dá para ver, isso acontece em x = -2 e x = 2.

Quando x → -2, o denominador tende para 0, o numerador tende para -8 e, assim, a função inteira para infinito. Logo, x = -2 é uma assíntota vertical.

Agora, quando x → 2, o denominador tende para 0, porém, o numerador tende também para 0, porque a gente tem (x - 2) em cima e embaixo. Nesse caso, dá pra cortar estes termos e a função tende para

               -x(x - 2)                       -x
  lim     ----------------- =   lim   --------- = -½x → 2    (x + 2)(x - 2)    x → 2 (x + 2)

Logo, como este limite não tende para infinito, não há assíntota vertical em x = 2.

Finalmente, agora para as assíntotas horizontais. Fazendo x → ±∞,

               -x² + 2x       -x²   
  lim       ------------- = ----- = -1
x → ±∞     x² - 4          x²

Se considerar apenas os termos com x², vai sobrar -x² em cima e x² embaixo. Cortando, resta -1, independente de x tender para +∞ ou -∞. Logo, y = -1 é a única assíntota horizontal.

Em resumo, suas assíntotas são:

Vertical:      x = -2
Horizontal: y = -1

Seja \(f\left(x\right)=\frac{\left(2x-x²\right)}{x²-4}\)

Assíntota vertical:  Para funções racionais, as assíntotas verticais são os pontos não definidos, também conhecidos como os zeros do denominador, da função simplificada.

Vamos isolar o x no numerador e fatorar o denominador:

\(2x-x²:\quad -x\left(x-2\right)\)

\(x^2-4:\quad \left(x+2\right)\left(x-2\right)\)

Assim:

\(=\frac{\left(2x-x²\right)}{x²-4}=-\frac{x\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\)

Eliminando o \((x-2)\):

\(\frac{\left(2x-x²\right)}{x²-4}=-\frac{x}{x+2}\)

Assim, vamos comparar o denominador com o zero:

\(x^2-4=0\\ x^2-4+4=0+4\\ x^2=4\\ x=\sqrt{4},\:x=-\sqrt{4}\\ x=2,\:x=-2\)

Portanto, as assíntotas verticais são: \(\boxed{x=2,\:x=-2}\)

Assíntotas horizontais:

Se o \(grau \:do \: denominador> grau \:do \:numerador,\) a assíntota horizontal é o eixo x, \(y=0\)

Se o \(grau \:do\: numerador= 1+ \:o \:grau\: do\: denominador\) , a assíntota é inclinada da forma \(y=mx+b\)

Se os graus são iguais , a assíntota é:\(y=\frac{coeficiente\:principal\:do\:numerador}{coeficiente\:principal\:do\:denominador}\)

Que é o nosso caso: \(grau \:do \:numerador =1\); \(grau \:do \:denominador =1\)

Assim, a assíntota horizontal é: \(\boxed{y=-1}\)