equação diferencial

O que é isso

? éas resposta

Com as alternativas o processo é facilitado. Sabemos que para equações homogêneas basta trabalhar com a equação característica da EDO:

\(0,5 \lambda^2 - 2 \lambda + 2 = 0 \\ \lambda^2 - 4 \lambda + 4 = 0\)

Por soma e produto ou Bhaskara, inferimos:

\(\lambda = 2\)

Como o autovalor tem multiplicidade 2, a solução é do tipo:

\(y(x) = C_1 e^{\lambda x} + C_2 x e^{\lambda x}\)

De onde tiramos as equações auxiliares:

\(y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2 x} \ \ (I) \\ y'(x) = 2C_1 e^{2x} + C_2 e^{2 x} + 2 C_2 x e^{2 x} \ \ (II)\)

Substituindo as condições iniciais, obteremos:

\(y(0) = 4 = C_1 e^{2 \cdot 0} + C_2 \cdot 0 \cdot e^{2 \cdot 0} \\ y'(0) = 10 = 2C_1 e^{2 \cdot 0} + C_2 e^{2 \cdot 0} + 2C_2 \cdot 0 \cdot e^{2 x}\)

Finalmente, o sistema simplificado é:

\(\left\{\begin{matrix} C_1 = 4\\ 2C_1 + C_2 = 10 \end{matrix}\right.\)

Ou seja, substituindo a primeira equação na segunda, obtemos:

\(C_2 = 2\)

E, portanto, a solução da EDO é:

\(\boxed{y(x) = 4e^{2x} + 2 x e^{2x}}\)

Letra C