Dados os vetores a=(3,-2,1),b=(-1,1,-2) e c=(2,1,-3), determinar as coordenadas do vetor v=(11,-6,5) como combinação linear da base β= {a,b,c}

x=0

Neste exercício, o vetor \(\overrightarrow v = (11,-6,5)\) deve ser combinação linear dos vetores \(\overrightarrow a = (3,-2,1)\), \(\overrightarrow b = (-1,1,-2)\) e \(\overrightarrow c = (2,1,-3)\). Pela base \(\beta = \{a,b,c \}\), a seguinte equação deve ser atendida:

\(\Longrightarrow \overrightarrow v = a \cdot \overrightarrow a + b \cdot \overrightarrow b + c \cdot \overrightarrow c\)

\(\Longrightarrow (11,-6,5) = a \cdot (3,-2,1) + b \cdot (-1,1,-2) + c \cdot (2,1,-3)\)

Pela equação anterior, tem-se o seguinte sistema de equações:

\(\Longrightarrow (11,-6,5) = (3a,-2a,a) + (-b,b,-2b) + (2c,c,-3c)\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 3a-b+2c=11 & (I) \\ -2a+b+c=-6 & (II)\\ a-2b-3c=5 & (III) \end{matrix} \right.\)

Agora, o sistema de equações será resolvido pelo método do escalonamento. Multiplicando a equação \((I)\) por 2, a equação \((II)\) por 3 e a equação \((III)\) por 6, o sistema fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 6a-2b+4c=22 & (I) \\ -6a+3b+3c=-18 & (II)\\ 6a-12b-18c=30 & (III) \end{matrix} \right.\)

Primeiro, será eliminada a variável \(a\). Realizando as operações \((I)+(II)\) e \((I)-(III)\), as novas equações \((II)\) e \((III)\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 6a-2b+4c=22 & (I) \\ b+7c=4 & (II)\\ 10b+22c=-8 & (III) \end{matrix} \right.\)

Agora, será eliminada a variável \(b\). Realizando a operação \(10(II)-(III)\), a nova equação \((III)\) é:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 6a-2b+4c=22 & (I) \\ b+7c=4 & (II)\\ 48c=48 & (III) \end{matrix} \right.\)

Pela equação \((III)\), o valor de \(c\) é:

\(\Longrightarrow 48c=48\)

\(\Longrightarrow \underline{c=1}\)

Pela equação \((II)\), o valor de \(b\) é:

\(\Longrightarrow b+7c=4\)

\(\Longrightarrow b+7\cdot 1=4\)

\(\Longrightarrow \underline{b=-3}\)

Pela equação \((I)\), o valor de \(a\) é:

\(\Longrightarrow 6a-2b+4c=22\)

\(\Longrightarrow 6a-2\cdot(-3)+4\cdot(1)=22\)

\(\Longrightarrow 6a+6+4=22\)

\(\Longrightarrow 6a=12\)

\(\Longrightarrow \underline{a=2}\)

Portanto, a base \(\beta\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \beta = \{a,b,c \}\)

\(\Longrightarrow \underline{ \beta = \{2,-3,1 \} }\)

Concluindo, a equação do vetor \(\overrightarrow v = (11,-6,5)\) como combinação linear dos vetores \(\overrightarrow a = (3,-2,1)\), \(\overrightarrow b = (-1,1,-2)\) e \(\overrightarrow c = (2,1,-3)\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow (11,-6,5) = a \cdot (3,-2,1) + b \cdot (-1,1,-2) + c \cdot (2,1,-3)\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ (11,-6,5) = 2 \cdot (3,-2,1) -3 \cdot (-1,1,-2) + (2,1,-3) $}\)