Metodos quantitativos para tomada de decisao

Pode-se chegar ao resultado resolvendo o conjunto de equações, considerando produto I = X e produto II = Y:

(i) 2X + 2Y = 24A

(ii) 1X + 5Y = 44B

(iii) 6X + 2Y = 60C

Essas equações são construídas a partir do tempo necessário para cada produto e o tempo disponível de cada máquina.

Isolando o X em (ii), temos que X = 44 - 5Y (iv). Substituindo X em (i), temos 2*(44 - 5Y) + 2Y = 24 e resolvendo isso chegamos em Y = 8. Voltando na equação (iv), X = 44 - 5*(8) = 4.

Assim, podemos produzir 4 unidades do produto I e 8 unidades do produto II, tendo um benefício total de R$96,00 (4*6 + 8*9).

Nesse sistema, a máquina C não será utilizada em sua totalidade, sendo utilizadas apenas 40 horas; as outras duas máquinas, A e B, serão utilizadas em sua capacidade total (24 e 44, respectivamente).

Esse problema também pode ser resolvido pelo Solver, no Excel. Caso queira saber como, me manda uma mensagem e eu te explico.

O método explicado deu certo por sorte, pois ele deu certo no primeiro teste, mas há um método completo de se resolver esse problema. Esse é um problema linear, eles são estudados na area de Pesquisa Operacional. A resolução manual é um pouco longa mas é bem explicativa e intuitiva. Se precisar de ajuda com outros problemas me manda um mensagem.

Vamos entender o problema:

1)Produtos:

(i) X
(ii) Y

2) Maquinas:

(i) A
(ii) B
(iii) C

3) Preços:
(i) R$ 6,00 X
(ii) R$ 9,00 Y

4) Disponibilidade:
(i) A->24h
(ii) B->44h
(iii) C->60h

5) Tempos A:
(i) X -> 2h
(ii) Y -> 2h

6) Tempos B:
(i) X -> 1h
(ii) Y -> 5h

7) Tempos C:
(i) X -> 6h
(ii) Y -> 2h

Agora com todos os dados podemos montar nosso problema:

Função Objetivo - Essa é a função principal do problema, ela pode ser uma função de maximização ou de minimização.
Nesse problema queremos maximizar o lucro obtido com a venda dos produtos.

F.O:
Maximizar 6X + 9Y

Restrições -> A quantidade dos nossos produtos estão sujeitas a restrições.
Tais restrições podem ser de valores minimos, máximos ou iguais. Nesse caso
as restrições dizem respeito ao tempo máximo que podemos utilizar as maquinas.

Restrições:

Disponibilidade A:

2X + 2Y <= 24

Disponibilidade B:

1X + 5Y <= 44

Disponibilidade C:

6X + 2Y <= 60

Agora essa analise geralmente é feita por computador utilizando algum programa
para resolução de problemas lineares, como o solver, lingo, glpk e outros.
Manualmente, teremos que resolver o sistema a seguir:

2X + 2Y <= 24
1X + 5Y <= 44
6X + 2Y <= 60

Para resolve-lo temos que igualar as inequações, fazemos isso adicionando variaveis de folga,
ou sobras. Dessa forma, Fi é quanto tempo a maquina i não foi utilizada.
Remontando o sistema:

2X + 2Y + Fa = 24
1X + 5Y + Fb = 44
6X + 2Y + Fc = 60

Assim, nós temos 5 variaveis e 3 equações que torna esse problema impossível de resolver por matrizes.
Para resolve-lo, nós iremos transformar algumas variaveis em 0, e resolver o sistema para as outras 3 variaveis.

Para X e Y = 0

2*0 + 2*0 + Fa = 24
1*0 + 5*0 + Fb = 44
6*0 + 2*0 + Fc = 60
Fa = 24, Fb= 44, Fc = 60.
Lucro = 6*0 + 9*0 = 0

Para X=0 e Fa=0;
Y=12, Fb = -16, Fc = 36 => Restrição Fb não atendida

Para X=0 e Fb=0;
Y=8.8, Fa = 6.4 , Fc = 42.4
Lucro = 6*0 + 9*8.8 = 79,2

Para X=0 e Fc=0;
Y=30, Fa = -36 , Fb = -106 => Restrição Fb e Fa não atendida

Para Y=0 e Fa=0;
X=12, Fb = 32, Fc = -12 => Restrição Fc não atendida

Para Y=0 e Fb=0;
X=44, Fa = -64 , Fc = -204 => Restrição Fa e Fc não atendida

Para Y=0 e Fc=0;
X=10, Fa = 4 , Fb = 34
Lucro = 6*10 + 9*0 = 60

Para Fa=0 e Fb=0;
X= 4, Y = 8 , Fc = 20
Lucro = 6*4 + 9*8 = 96

Para Fa=0 e Fc=0;
X=9, Y = 3 , Fb = 20
Lucro = 6*9 + 9*3 = 81

Para Fb=0 e Fc=0;
X= 7.5, Y = 7.3 , Fa = -5.6 => Restrição Fa não atendida

As variaveis de folga se forem negativas significam que precisamos de mais horas do que tinhamos disponivel, logo ultrapassamos a restrição.
Para os sistemas que nossas respostas estiveram dentro do intervalo válido, nós calculamos o lucro, e analisamos em qual configuração nós
obtivemos o maior lucro. Nesse caso, como mostrado anteriormente, isso acontece para X = 4 e Y = 8.
Como você pode perceber esse método é longo, por isso problemas lineares grandes geralmente são resolvidos com o auxilio de programas de computador
como os que eu citei acima: Solver( Microsoft Excel), Lingo( Lindo Systems), Glpk ( Linux ).

Logo mais devo postar algumas apostilas sobre o assunto.

Abraços.