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Questão da av2 de cálculo2 / 2013

Alguém pode me ajudar com esta questão da av2 de Cálculo2??

Verificar se a função f(x,y,z)= xcos(y)+ ysen(x) + zsen(x)cos(y) é harmônica.

Desde já obrigado!


7 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Nesse exercício vamos estudar funções harmônicas.


Uma função harmônica de 3 variáveis é uma função que obedece a seguinte expressão:

$$\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial z^2}=0$$


Vamos então calcular a segunda derivada em relação a cada uma das variáveis para posteriormente simplificar os cálculos:

$$\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}=\dfrac{\partial}{\partial x}(\cos y+y\cos x+z\cos x\cos y) =0-y\sin x-z\sin x\cos y=-y\sin x-z\sin x\cos y$$

$$\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}=\dfrac{\partial}{\partial y}(-x\sin y+\sin x-z\sin x\sin y) =-x\cos y+0-z\sin x\cos y =-x\cos y-z\sin x\cos y$$

$$\dfrac{\partial^2f}{\partial z^2}=\dfrac{\partial}{\partial z}(0+0+\sin x\cos y) =0+0+0 =0$$


Substituindo na equação diferencial, temos:

$$\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial z^2}=(-y\sin x-z\sin x\cos y)+( -x\cos y-z\sin x\cos y)+0=-y\sin x -x\cos y -2 z\sin x\cos y \neq0$$

$$\boxed{\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial z^2} \neq0}$$


Logo a função dada não é harmônica.

Nesse exercício vamos estudar funções harmônicas.


Uma função harmônica de 3 variáveis é uma função que obedece a seguinte expressão:

$$\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial z^2}=0$$


Vamos então calcular a segunda derivada em relação a cada uma das variáveis para posteriormente simplificar os cálculos:

$$\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}=\dfrac{\partial}{\partial x}(\cos y+y\cos x+z\cos x\cos y) =0-y\sin x-z\sin x\cos y=-y\sin x-z\sin x\cos y$$

$$\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}=\dfrac{\partial}{\partial y}(-x\sin y+\sin x-z\sin x\sin y) =-x\cos y+0-z\sin x\cos y =-x\cos y-z\sin x\cos y$$

$$\dfrac{\partial^2f}{\partial z^2}=\dfrac{\partial}{\partial z}(0+0+\sin x\cos y) =0+0+0 =0$$


Substituindo na equação diferencial, temos:

$$\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial z^2}=(-y\sin x-z\sin x\cos y)+( -x\cos y-z\sin x\cos y)+0=-y\sin x -x\cos y -2 z\sin x\cos y \neq0$$

$$\boxed{\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial z^2} \neq0}$$


Logo a função dada não é harmônica.

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Leonardo

Há mais de um mês

Opa!

Para a função ser harmônica o leplaceano tem que ser nulo, para isso a soma das derivadas parciais de segunda ordem tem que ser igual a zero.

Fxx= -ysen(x)-zsen(x)cos(y)

Fyy= -xcos(y)-zsen(x)cos(y)

Fzz= 0

Podemos ver que o somatorio desses valores é ≠ 0.

Um abração!

Leonardo.

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Andre

Há mais de um mês

Nesse exercício vamos estudar funções harmônicas.


Uma função harmônica de 3 variáveis é uma função que obedece a seguinte expressão:

$$\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial z^2}=0$$


Vamos então calcular a segunda derivada em relação a cada uma das variáveis para posteriormente simplificar os cálculos:

$$\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}=\dfrac{\partial}{\partial x}(\cos y+y\cos x+z\cos x\cos y) =0-y\sin x-z\sin x\cos y=-y\sin x-z\sin x\cos y$$

$$\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}=\dfrac{\partial}{\partial y}(-x\sin y+\sin x-z\sin x\sin y) =-x\cos y+0-z\sin x\cos y =-x\cos y-z\sin x\cos y$$

$$\dfrac{\partial^2f}{\partial z^2}=\dfrac{\partial}{\partial z}(0+0+\sin x\cos y) =0+0+0 =0$$


Substituindo na equação diferencial, temos:

$$\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial z^2}=(-y\sin x-z\sin x\cos y)+( -x\cos y-z\sin x\cos y)+0=-y\sin x -x\cos y -2 z\sin x\cos y \neq0$$

$$\boxed{\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial z^2} \neq0}$$


Logo a função dada não é harmônica.

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Wanderson

Há mais de um mês

Valeu Leandro... Muito obrigado!!!

Um abração!

Wanderson

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas