Dados A ( 2 , y ) e B ( 3 , 3 ), determine y para que o módulo do vetor ????????⃗⃗⃗⃗⃗ seja √5 .

O vetor AB= B-A= (3,3) - (2,y) 

B-A= (3-2, 3-y)

B-A= (1, 3-y)

||AB||= √1^2+(3-y)^2 e com o módulo/norma do vetor AB=√5, temos:

||AB||= √5 = √1^2+(3-Y)^2 elevando ao quadrado os dois lados, elimina a raiz

5=1^2+(3-y)^2 desenvolve a expressão

y^2-6y+9+1-5=0

y^2-6y+5=0 encontra as raízes por Bhaskara

Delta=36- 4.1.5=16

y=6+4/2=5 ou y=6-4/2=1

Y pode ser 1 ou 5, na expressão não fará diferença

sendo y=1 temos:

√1^2 + (3-1)^2

√1+2^2=

√1+4= √5

sendo y=5 temos:

√1^2 + (3-5)^2

√1+(-2)^2

√1+4=√5

Para encontrar o valor de y, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & A=\left( \text{ }2\text{ },\text{ }y\text{ } \right) \\ & B=\left( \text{ }3\text{ },\text{ }3\text{ } \right) \\ & {{v}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \\ & \sqrt{5}=\sqrt{{{(3-2)}^{2}}+{{(3-y)}^{2}}} \\ & 5=1+{{y}^{2}}-6y+9 \\ & {{y}^{2}}-6y+5=0 \\ & y'=10 \\ & y''=2 \\ \end{align}\ \)

Portanto, para que tenhamos o módulo dado, teremos que ter \(\boxed{y = 2{\text{ ou }}y = 10}\).