Geometria analítica

Temos r: y= 2x+3; z= 3x - 4  e podemos transformar numa equação parametrica da reta admitindo x=t:

r: x= t
   y= 2t + 3
   z= 3t - 4

Agora é só substituir x, y e z na equação do plano, e encontramos o valor de t em que há interseção entre a reta e o plano:

3(t) + 5(2t+3) -2(3t-4) -9 =0
3t +10t -6t +15 +8 -9 =0
7t =-14
t=-2

Substituindo t na eq parametrica da reta:

x=-2; y=2(-2) +2=-1; z= 3(-2) -4=-10

Então o ponto de interseção é (-2,-1,-10)

PS: só agora que vi que o plano é denominado t, escolhi t pra resolver a questao por coincidencia.

Para resolvermos esse exercício, basta-nos resolver o sistema de equações dado:

\(\left\lbrace\begin{align} y&=2x+3\\ z&=3x-4\\ 3x+5y-2z&=9 \end{align}\right.\)

Substituindo as duas primeiras equações na última, temos:

\(\begin{align} 3x+5(2x+3)-2(3x-4)&=9\\ 7x+23&=9\\ 7x&=-14\\ x&=-2 \end{align}\)

Pela primeira equação, determinamos a segunda coordenada:

\(y=2x+3=-4+3=-1\)

Pela segunda equação, determinamos a terceira coordenada:

\(z=3x-4=-6-4=-10\)

Temos, portanto, o ponto de intersecção:

\(\boxed{P=(-2;-1;-10)}\)