Dados os vetores u, v, e w iguais a u=(2,4,-6), v=(4,0,-6) e w=(6,2,0). Determine o vetor X, sabendo que: X.u = -32 X.v = 0 X.w = 6

Olá Janailton,

Por favor, confira a sua dúvida. Certamente há um erro na resolução. Zero é diferente de 6.

0 X.w = 6 *

Primeiro vamos calcular a multiplicação do vetor \(X(x,y,z)\) por todos os outros vetores:

\(X \cdot u=(x,y,z)\cdot(2,4,-6)\)

\(X \cdot u=2x+4y-6z\)

\(X \cdot v=(x,y,z)\cdot(4,0,-6)\)

\(X \cdot v=4x-6z\)

\(X \cdot w=(x,y,z)\cdot(6,2,0)\)

\(X \cdot w=6x+2y\)

Agora igualando o resultado das multiplicações pelo escalar equivalente fornecido pelo exercícios temos um conjunto de equações lineares:

\(\begin{cases} 2x+4y-6z=-32 \\4x-6z=0\\ 6x+2y=6 \end{cases}\)

Agora para encontrar os valores do vetor \(X(x,y,z)\) precisamos apenas resolver o sistema linear. Vamos resolver utilizando o método de Cramer. Para resolvermos por esse método precisamos montar a matriz com os coeficientes das variáveis e descobrir sua determinante:

\(\Delta=\begin{vmatrix} 2 & 4 & -6 \\ 4 &0 & -6\\ 6&2&0 \end{vmatrix}=-168\)

Agora que temos o valor da nossa determinante podemos calcular os valores de \(\Delta_1\), \(\Delta_2\) e \(\Delta_3\). Para calcular o primeiro delta nós atribuimos os resultados das equações na primeira coluna onde estão os valores que antecedem \(x\):

\(\Delta_1=\begin{vmatrix} -32 & 4 & -6 \\ 0 &0 & -6\\ 6&2&0 \end{vmatrix}=-528\)

Agora realizamos o mesmo processo para \(y\) e \(z\) respectivamente:

\(\Delta_2=\begin{vmatrix} 2 & -32 & -6 \\ 4 &0 & -6\\ 6&6&0 \end{vmatrix}=1080\)

\(\Delta_3=\begin{vmatrix} 2 & 4 & -32 \\ 4 &0 & 0\\ 6&2&6 \end{vmatrix}=-352\)

Agora para obtermos os valores de nossas variáveis precisamos apenas dividir os valores de \(\Delta_1\), \(\Delta_2\) e \(\Delta_3\) por  \(\Delta\) e encontramos os valores de \(x\), \(y\) e \(z\) respectivamente:

\(x=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{-528}{-168}=\frac{22}{7}\)

\(y=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{1080}{-168}=\frac{-45}{7}\)

\(z=\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{-352}{-168}=\frac{44}{21}\)

Assim, temos que os valores para o vetor \(X\) são \((\frac{22}{7},\frac{-45}{7},\frac{44}{21})\).

Como o resultado da multiplicação entre os vetores resulta em um escalar, apesar do exercício não deixar claro que é produto escalar, irei realizar os cálculos assumindo que o produto entre os vetores é escalar.

Primeiro vamos calcular a multiplicação do vetor \(X(x,y,z)\) por todos os outros vetores:

\(X \cdot u=(x,y,z)\cdot(2,4,-6)\)

\(X \cdot u=2x+4y-6z\)

\(X \cdot v=(x,y,z)\cdot(4,0,-6)\)

\(X \cdot v=4x-6z\)

\(X \cdot w=(x,y,z)\cdot(6,2,0)\)

\(X \cdot w=6x+2y\)

Agora igualando o resultado das multiplicações pelo escalar equivalente fornecido pelo exercícios temos um conjunto de equações lineares:

\(\begin{cases} 2x+4y-6z=-32 \\4x-6z=0\\ 6x+2y=6 \end{cases}\)

Agora para encontrar os valores do vetor \(X(x,y,z)\) precisamos apenas resolver o sistema linear. Vamos resolver utilizando o método de Cramer. Para resolvermos por esse método precisamos montar a matriz com os coeficientes das variáveis e descobrir sua determinante:

\(\Delta=\begin{vmatrix} 2 & 4 & -6 \\ 4 &0 & -6\\ 6&2&0 \end{vmatrix}=-168\)

Agora que temos o valor da nossa determinante podemos calcular os valores de \(\Delta_1\), \(\Delta_2\) e \(\Delta_3\). Para calcular o primeiro delta nós atribuimos os resultados das equações na primeira coluna onde estão os valores que antecedem \(x\):

\(\Delta_1=\begin{vmatrix} -32 & 4 & -6 \\ 0 &0 & -6\\ 6&2&0 \end{vmatrix}=-528\)

Agora realizamos o mesmo processo para \(y\) e \(z\) respectivamente:

\(\Delta_2=\begin{vmatrix} 2 & -32 & -6 \\ 4 &0 & -6\\ 6&6&0 \end{vmatrix}=1080\)

\(\Delta_3=\begin{vmatrix} 2 & 4 & -32 \\ 4 &0 & 0\\ 6&2&6 \end{vmatrix}=-352\)

Agora para obtermos os valores de nossas variáveis precisamos apenas dividir os valores de \(\Delta_1\), \(\Delta_2\) e \(\Delta_3\) por  \(\Delta\) e encontramos os valores de \(x\), \(y\) e \(z\) respectivamente:

\(x=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{-528}{-168}=\frac{22}{7}\)

\(y=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{1080}{-168}=\frac{-45}{7}\)

\(z=\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{-352}{-168}=\frac{44}{21}\)

Assim, temos que os valores para o vetor \(X\) são \((\frac{22}{7},\frac{-45}{7},\frac{44}{21})\).