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Determine o valor máximo do produto de três números positivos tais que 2xy + xz + 3yz = 72, por favor que sabe mim ajude nessa questão


1 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Para encontrarmos os valores de X, Y e z, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & 2xy\text{ }+\text{ }xz\text{ }+\text{ }3yz\text{ }=\text{ }72 \\ & xyz=? \\ & \\ & 2(3)(1)\text{ }+3z\text{ }+\text{ }3(1)z\text{ }=\text{ }72 \\ & 6+3z+3z=72 \\ & z=11 \\ & x=3 \\ & y=1 \\ & \\ & xyz=11\cdot 3\cdot 1 \\ & xyz=33 \\ \end{align}\ \)

Portanto, o valor máximo do produto será 33.

Para encontrarmos os valores de X, Y e z, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & 2xy\text{ }+\text{ }xz\text{ }+\text{ }3yz\text{ }=\text{ }72 \\ & xyz=? \\ & \\ & 2(3)(1)\text{ }+3z\text{ }+\text{ }3(1)z\text{ }=\text{ }72 \\ & 6+3z+3z=72 \\ & z=11 \\ & x=3 \\ & y=1 \\ & \\ & xyz=11\cdot 3\cdot 1 \\ & xyz=33 \\ \end{align}\ \)

Portanto, o valor máximo do produto será 33.

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Rafael

Há mais de um mês

Basta usar a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica. De fato, (2xy + xy +3zy):3 ≥√2xy.xz.3yz (veja essa raíz como cúbica...). Como 2xy + xy +3zy =72, segue que (√6.x.x.y.y.z.z) ≤ 72:3 = 24. Fazendo as contas, vamos encontrar x.y.z ≤48, logo o valor máximo é 48 ^^

 

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