\(\begin{bmatrix} 2 & -3 & 1& 7 \\ -2 & 3 & 0 & 4 \\ -1 & 5 & 4 & -3 \\ 2 & 4 & -5 & 0 \end{bmatrix}\)

O método da triangularização define que a determinante pode ser obtida através da multiplicação dos elementos da diagonal, mas para isso precisamos que todos os elementos abaixo da diagonal sejam iguais a 0.

Vamos por partes, primeiro vamos dividir a matriz em linhas e nomear as linhas para facilitar a identificação na hora dos cálculos:

\(L_1 \\ L_2 \\ L_3 \\ L_4\)\(\begin{bmatrix} 2 & -3 & 1& 7 \\ -2 & 3 & 0 & 4 \\ -1 & 5 & 4 & -3 \\ 2 & 4 & -5 & 0 \end{bmatrix}\)

Iniciando os cálculos, vamos zerar a primeira coluna da segunda linha:

\(L_2-(-1)\times L_1 \rightarrow L_2\)

\(\begin{bmatrix} 2 & -3 & 1& 7 \\ \textbf{0} & \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{11} \\ -1 & 5 & 4 & -3 \\ 2 & 4 & -5 & 0 \end{bmatrix}\)

Vamos repetir o procedimento para todas as linhas de forma que deixemos a primeira coluna com 0 em todas as posições abaixo da diagonal principal:

\(L_3-(\frac{-1}{2})\times L_1 \rightarrow L_3\)

\(\begin{bmatrix} 2 & -3 & 1& 7 \\ 0 & 0 & 1 & 11 \\ \textbf{0} & \frac{\textbf{7}}{\textbf{2}} & \frac{\textbf{9}}{\textbf{2}} &\frac{\textbf{1}}{\textbf{2}} \\ 2 & 4 & -5 & 0 \end{bmatrix}\)

\(L_4-1\times L_1 \rightarrow L_4 \)

\(\begin{bmatrix} 2 & -3 & 1& 7 \\ 0 & 0 & 1 & 11 \\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{9}{2} &\frac{1}{2} \\ \textbf{0} & \textbf{7} & \textbf{-6} & \textbf{-7} \end{bmatrix}\)

Existe a regra onde podemos inverter duas linhas de lugar porém precisamos multiplicar uma das duas por -1, então podemos trocar a linha 2 com a linha 3:

\(\begin{bmatrix} 2 & -3 & 1& 7 \\ \textbf{0} & \frac{\textbf{7}}{\textbf{2}} & \frac{\textbf{9}}{\textbf{2}} &\frac{\textbf{1}}{\textbf{2}}\\ \textbf{0} & \textbf{0} & \textbf{-1} & \textbf{-11} \\ 0 & 7 & -6 & -7 \end{bmatrix}\)

Agora precisamos terminar de zerar os elementos da última linha:

\(L_4-2\times L_2 \rightarrow L_4\)

\(\begin{bmatrix} 2 & -3 & 1& 7 \\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{9}{2} &\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -1 & -11 \\ \textbf{0} & \textbf{0} & \textbf{-15} & \textbf{-8} \end{bmatrix}\)

\(L_4-15\times L_3 \rightarrow L_4\)

\(\begin{bmatrix} 2 & -3 & 1& 7 \\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{9}{2} &\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -1 & -11 \\ ​​\textbf{0} & \textbf{0} & \textbf{0} & \textbf{157} \end{bmatrix}\)

Agora para obtermos o valor da determinante precisamos apenas multiplicar os valores da diagonal principal:

\(2 \times \frac{7}{2} \times (-1) \times 157 = -1099\)

Assim, temos que o valor da determinante pelo método da triangularização é \(\boxed{-1099}\).