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Como fazer este exercicio de calculo 2?

Suponha que f (x, y) seja uma função de duas variáveis x e y. Se c é algum valor da função f, então a equação f (x, y) = c descreve uma curva situada no plano z = c, chamada traço do gráfico de f no plano z = c. Se esse traço for projetado no plano x y, a curva resultante no plano x y é denominada curva de nível. (TAN, 2008). A curva de nível é um método útil para representar uma função de duas variáveis. Um conjunto de curvas de nível é chamado de mapa de perfil e pode ser observado através dos gráficos a seguir:

Explique o significado da representação gráfica através do mapa de perfil, procure detalhar o que ocorre com os valores de z quando as curvas de níveis estão mais próximas e mais distantes umas das outras.

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Cada curva do mapa de perfil pode ser gerada quando se cria uma intersecção da superfície tridimensional com um plano, paralelo ao plano xy, em \(z=c\). O contorno é resultado da intersecção do plano com a superfície. Ao traçar diversos planos, para diversos valores de \(c\) , e projetar todos os contornos no plano xy, obtém se a figura do mapa de perfil.

Quando as curvas de nível estão mais proximas umas das outras, podemos inferir que o declive da superfície e maior naquela região. Por exemplo, considere dois mapas de contorno semelhantes na forma porém em um deles, observa-se que as curvas de nível estão mais proximas umas das outras. Isso significa que, a variação no eixo z por unidade de área do plano xy e maior naquele onde as curvas de nível estão mais próximas.

Considere que  temos duas curvas de nível, \(z=2\) e \(z=1\), se em um dos mapas de contorno, as duas curvas de nível estão mais proximas significa que, ao percorrer a superfície, a variação de 2 para 1 é mais rápida neste mapa. Analogamente, se as curvas de nível estão mais distantes, a transição entre os valores da função requer maior variação nas unidades de x e y.

 

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