Calcule a derivada direcional de f(x,y)= 2/(x^2 + y^2 ) no ponto (-1,1) na direção do vetor v=2i+3j.

Duf(-1,1) = - √13/13

A derivada direcional de uma função com duas variáveis na direção de um vetor \(v\) é dada pelo produto escalar entre as derivadas parciais (vetor gradiente) e o vetor \(v\):

\(D=(\frac{df}{dx};\frac{df}{d}).v\)

Assim, vamos primeiro simplificar a equação  \(f(x,y)= \frac{2}{(x^2 + y^2 )}\)

\(f(x,y)= \frac{2}{(x^2 + y^2 )}\\ f(x,y)= 2.(x^{-2}+ y^{-2} )\\ f(x,y)= 2.x^{-2}+ 2y^{-2} \)

Vamos então derivar a função acima em relação a \(x\) :

\(df/dx=-4x\)

Agora em relação a \(y\):

\(df/dy=-4y\)

Assim, temos o vetor gradiente \((-4x,-4y)\)

Substituimos na fórmula de \(D\) e sabendo que  \(v=2i+3j = (2,3)\), temos:

\(D=(\frac{df}{dx};\frac{df}{d}).v\)

\(D=(-4x,-4y).(2,3)\\ D= (-8x-12y)\)

No ponto \((-1,1)\), temos:\(D= (-8x-12y)\\ D= (-8(-1)-12.1)= -4\)

Portanto, a derivada direcional é \(\boxed{D=-4}\).