Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2

Para encontrar a área delimitada pelas duas curvas, primeiro precisamos encontrar a interseção delas:

x² = x + 2
x = -1 ou x = 2

Assim, nesses dois pontos, a parábola e a reta se interceptam. Assim, só precisamos achar a diferença entre as integrais das duas funções nesses limites. a integral de x² é x³/3, e a de x + 2, x²/2 + 2x. Aplicando os limites de integração, obtemos 3 para a parábola e 15/2 para a reta. Portanto, a diferença entre essas integrais (área entre as curvas) é igual a

15/2 - 3 = 9/2

Para encontrar a área da região R realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & y={{x}^{2}} \\ & y=x+2 \\ & {{x}^{2}}-x-2=0 \\ & A=\int_{-1}^{2}{{{x}^{2}}-x-2} \\ & A=\int_{-1}^{2}{\left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{2}}}{2}-2x \right)} \\ & A=\left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{2}}}{2}-2x \right)_{-1}^{2} \\ & A=\left( \frac{8}{3}-2-4 \right)-\left( \frac{-1}{3}-\frac{1}{2}+2 \right) \\ & A=-3,33-\left( 1,16 \right) \\ & A=4,49 \\ \end{align} \)

\(\boxed{A = 4,49}\)