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como calcular essa equação exponencial: 9^x + 21^x = 49^x


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Podemos reescrever essa equação fatorando os números:

\(\begin{align} 9^x + 21^x &= 49^x\\ 3^x3^x + 3^x7^x &= 7^x7^x \end{align} \)

Dividindo ambos os termos por \(3^x3^x\), temos:

\(1+\left({7\over3}\right)^x=\left[\left({7\over3}\right)^x\right]^2\)

Fazendo \(y=\left({7\over3}\right)^x\), temos:

\(1+y=y^2\Rightarrow y^2-y-1=0\)

Para o discriminante, temos:

\(\Delta = (-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)=5\)

O que nos dá os seguinte possíveis valores para \(y\):

\(y = {1 \pm \sqrt{5} \over 2}\)

Mas \(y=\left({7\over3}\right)^x>0\), logo:

\(y =\left({7\over3}\right)^x= {1 + \sqrt{5} \over 2}\Rightarrow \boxed{x = log_{7\over3}\left({1+\sqrt{5}\over2}\right)={log\left({1+\sqrt{5}\over2}\right)\over log\left({7\over3}\right)}}\)

Podemos reescrever essa equação fatorando os números:

\(\begin{align} 9^x + 21^x &= 49^x\\ 3^x3^x + 3^x7^x &= 7^x7^x \end{align} \)

Dividindo ambos os termos por \(3^x3^x\), temos:

\(1+\left({7\over3}\right)^x=\left[\left({7\over3}\right)^x\right]^2\)

Fazendo \(y=\left({7\over3}\right)^x\), temos:

\(1+y=y^2\Rightarrow y^2-y-1=0\)

Para o discriminante, temos:

\(\Delta = (-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)=5\)

O que nos dá os seguinte possíveis valores para \(y\):

\(y = {1 \pm \sqrt{5} \over 2}\)

Mas \(y=\left({7\over3}\right)^x>0\), logo:

\(y =\left({7\over3}\right)^x= {1 + \sqrt{5} \over 2}\Rightarrow \boxed{x = log_{7\over3}\left({1+\sqrt{5}\over2}\right)={log\left({1+\sqrt{5}\over2}\right)\over log\left({7\over3}\right)}}\)

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