Seja f : R^2 -> R dada por f (x,y) = xy. a) f é injetiva? b) f é sobrejetiva. c) Determine f^-1 ({0})

naõ sei

Uma função é injetiva se todo elemento do domínio possui uma imagem distinta, ou seja, dois elementos do domínio não podem ter a mesma imagem.

Se e somente se a condição seguinte for cumprida:

 e   (I)

Supondo que:

e  ,

então

.

Para que f(x,y) seja injetiva, f(x2,y2) será igual a f(x1,y1) somente se a condição (I) for cumprida.

Porém se fizermos

 e 

temos que 

Isso significa que há 2 elementos do domínio (os pares {2,3} e {3,2}) que compartilham a mesma imagem.

Assim, f(x,y) não é injetiva.

b) 

Em uma função sobrejetiva todo elemento do contradomínio está relacionado a um elemento do domínio. 

Da função f(x,y), podemos fazer com que x possa assumir qualquer valor arbitrário e fixar y=1.

Assim: 

Então, f(x,y) é sobrejetiva.

c)

Para que uma função seja inversivel é preciso que ela seja bijetora (injetiva e sobrejetiva simultaneamente). Como a função não é injetiva ela não pode ser bijetora.

Por isso, a função não tem inversa.

Uma função é injetiva se todo elemento do domínio possui uma imagem distinta, ou seja, dois elementos do domínio não podem ter a mesma imagem.

Se e somente se a condição seguinte for cumprida:

e (I)

Supondo que:

e ,

então

.

Para que f(x,y) seja injetiva, f(x2,y2) será igual a f(x1,y1) somente se a condição (I) for cumprida.

Porém se fizermos

e

temos que

Isso significa que há 2 elementos do domínio (os pares {2,3} e {3,2}) que compartilham a mesma imagem.

Assim, f(x,y) não é injetiva.

b)

Em uma função sobrejetiva todo elemento do contradomínio está relacionado a um elemento do domínio.

Da função f(x,y), podemos fazer com que x possa assumir qualquer valor arbitrário e fixar y=1.

Assim:

Então, f(x,y) é sobrejetiva.

c)

Para que uma função seja inversivel é preciso que ela seja bijetora (injetiva e sobrejetiva simultaneamente). Como a função não é injetiva ela não pode ser bijetora.

Por isso, a função não tem inversa.