A derivada direcional da função f(x,y,z)=xyz no ponto P(1;3;3) na direção do vetor v=i+2j+2k vale:

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A derivada direcional é dada pelo produto interno entre as derivadas parciais calculadas no ponto P e os componentes dos vetores

\(D=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)\left(a,b,c\right)\)

Calculando as derivadas:

\(\frac{\partial }{\partial \:x}\left(xyz\right)=yz\\ \)

no ponto \(P: \frac{\partial }{\partial \:x}=3.3=9 \)

\(\frac{\partial }{\partial \:y}\left(xyz\right)=xz\\ \)

no ponto \(P: \frac{\partial }{\partial \:y}=1.3=3 \)

\(\frac{\partial }{\partial \:z}\left(xyz\right)=xy\\ \)

no ponto \(P: \frac{\partial }{\partial \:z}=1.3=3 \)

Sendo \(a=1\); \(b=2\) e \(c=2\), temos:

\(D=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)\left(a,b,c\right)\\ D=(9,3,3).(1,2,2)\\ D=9+6+6\\ D=21\)

A derivada é \(\boxed{21}\).