Exercício 9, seção 15.8, livro Cálculo 2 (James Stwart). Escreva as equações em coordenadas cilíndricas. (a) x² - x + y² + z² = 1 (b) z = x² - y²

Para transformarmos coordenadas cartesianas em coodenadas cilíndricas, devemos fazer as seguintes transformações:

\(x=\rho cos\ \theta\\ y=\rho sen\ \theta\)

(a) Para esse primeiro item, fazendo as transformadas mostradas, temos:

\(\begin{align} x^2 - x + y^2 + z^2 &= 1\\ (\rho cos\ \theta)^2-(\rho cos\ \theta)+(\rho sen\ \theta)^2+z^2&=1\\ \rho^2 cos^2\theta-\rho cos\ \theta+\rho^2 sen^2 \theta+z^2&=1\\ \rho^2(sen^2\theta+ cos^2\theta)-\rho cos\ \theta+z^2&=1\\ \end{align}\)

Pela relação fundamental da trigonometria, temos:

\(sen^2\theta+ cos^2\theta=1\)

De forma que podemos reescrever a equação:

\(\boxed{\rho^2-\rho cos\ \theta+z^2=1}\)

(b) Para o segundo item, temos:

\(\begin{align} z &= x^2-y^2\\ z &= (\rho cos\ \theta)^2-(\rho sen\ \theta)^2\\ z &= \rho^2cos^2\theta-\rho^2sen^2\theta\\ z &= \rho^2(cos^2\theta-sen^2\theta)\\ \end{align}\)

Mas a expressão para o cosseno do arco duplo é dada por:

\(cos\ 2\theta= cos^2\theta-sen^2\theta\)

Substituindo na nossa equação, temos:

\(\boxed{z=\rho^2cos\ 2\theta}\)

so trocar x = rcos(teta)    e y por rsen(teta)