Questão resolvida - Determine a área da parte finita do paraboloide y x z - James Stewart- Ed_ 7 - Capítulo 15 6 - Ex 23 - Cálculo II

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• Determine a área da parte finita do paraboloide limitado pelo plano y = x + z2 2
. [Sugestão: Projete a superfície sobre o plano ]. (Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª y = 25 xz
Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.6 - Ex. 23)
 
Resolução:
 
Primeiro, precisamos atribuir alguns valores ao parabolóide para fazer um esboço da região, 
assim, fazemos;
 
x = 0 y = 0 + z y = z Parábola com convavidade voltada para cima que toca → ( )2 2 → 2 →
a origem
 
z = 0 z = x + 0 y = x Parábola com convavidade voltada para baixo que toca → 2 ( )2 → 2 →
o eixo em z em 1
 
 
 
-1 -0.5 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
y
z
y = 1 1 = x + y x + y = 1→ 2 2 → 2 2
 
y = 4 4 = x + y x + y = 2→ 2 2 → 2 2 ( )2
 
Temos um círculos quando proetamos no plano xz;
 
A intercessão com o palno acontece quando;y = 25
 
y = 25 25 = x + y x + y = 5→ 2 2 → 2 2 ( )2
 
 
 
-1 -0.5 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
y
x
-3 -2 -1 1 2 30
-1
1
2
z
x
Portanto, a intercessão é um círculo de raio ; 5
 
 
Como resultado dessa análise, concluímos que:
 
Plano xy temos parábolas→
 
Plano zy tembém temos parábolas→
 
Plano xz temos círculos inclusive a intercessão com o plano y = 25→
 
 
z
x
x + y = 52 2 ( )2
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico do sólido que desejamos conhecer o 
volume;
 
A área desse sólido, projetado no eixo é dado pela expressão:xz
 
A = dA∫
D
∫ + + 1𝜕f
𝜕x
2
𝜕f
𝜕z
2
 
Devemos, então, encontrar as derivadas parciais de em relação a e a f x z
 
= 2x
𝜕f
𝜕x
 
= 2z
𝜕f
𝜕z
 
Substituíndo e em , temos que;2 3 1
 
A = dA A = dA∫
D
∫ 2x + 2z + 1( )2 ( )2 → ∫
D
∫ 4x + 4z + 12 2
 
 
 
(1)
(2)
(3)
A = dA∫
D
∫ 4 x + z + 12 2
 
Agora, precisamos mudar coordenadas de cartesianas para polares, com;
 
x = rcos 𝜃 , y = rsen 𝜃 , dA = rdrd𝜃 e x + z = r( ) ( ) 2 2 2
 
Substituindo 5 em 4, fica;
 
A = rdrd𝜃 = rdrd𝜃∫
D
∫ 4 r + 12 → ∫
D
∫ 4r + 12
 
Vamos definir os limites de integração, o primeiro é o , veja pelo esboço que o raio vai de r 0
ao raio máximo, que é o raio do círculo que representa a intercessão entre as curvas, ou 
seja, O ângulo "varre" uma volta completa, assim, o ângulo vai de até ; com isso, a 5. 𝜃 0 2𝜋
integral da área em fica;6
 
A = rdrd𝜃
0
∫
2𝜋 5
0
∫ 4r + 12
 
Resolvendo a integral;
 
A = rdrd𝜃
0
∫
2𝜋 5
0
∫ 4r + 12
 
Primeiro, vamos resolver, em sua forma indefinida, a integral : rdr∫ 4r + 12
 
Fazemos t = 4r + 1 dt = 2 ⋅ 4rdr dt = 8rdr = rdr→ 2 → → →
dt
8
 
Substituindo; 
 
 rdr = = t dt = ⋅ + C = ⋅ + C = ⋅ + C∫ 4r + 12 ∫ t dt
8
1
8
∫
1
2
1
8
t
+ 1
+1
1
2
1
2
1
8
t
1 + 2
2
1+2
2
1
8
t
3
2
3
2
 
 
(4)
(5)
(6)
(7)
 
Voltando para a integral definida da área;
 
A = rdrd𝜃 = d𝜃
0
∫
2𝜋 5
0
∫ 4r + 12
0
∫
2𝜋 4r + 1
12
2
3
2
5
0
 
A = - d𝜃 = - d𝜃 = d𝜃
0
∫
2𝜋 100 + 1
12
( )
3
2 1
12
( )
3
2
0
∫
2𝜋 101
12
( )
3
2 1
12 0
∫
2𝜋 101 - 1
12
( )
3
2
A = d𝜃 = d𝜃 = 𝜃
0
∫
2𝜋101 ⋅ 101 - 1
12
1
2
0
∫
2𝜋 ⋅ 101 - 1
12
101 101 - 1
12
101 2𝜋
0
 
A = 101 - 1 u. a.
𝜋
6
101
 
 
= ⋅ t + C = t + C = t + C = 4r + 1 + C = + C
1
8
2
3
3
2
1
4 ⋅ 3
3
2
1
12
3
2
1
12
2
3
2
4r + 1
12
2
3
2
4
A = - d𝜃 = - d𝜃
0
∫
2𝜋 4 5 + 1
12
( )2
3
2
4 0 + 1
12
( )2
3
2
0
∫
2𝜋 4 ⋅ 25 + 1
12
( )
3
2 0 + 1
12
( )
3
2
0
A = d𝜃 = d𝜃 = d
0
∫
2𝜋 101 - 1
12
( )3
1
2
0
∫
2𝜋 101 ⋅ 101 - 1
12
( )2
1
2
0
∫
2𝜋101 ⋅ 101 - 1
12
1
2 ( )
2⋅
1
2
A = 2𝜋 - 0 A = ⋅ 2𝜋 A = ⋅ 𝜋
101 - 1
12
101
( ) →
101 - 1
12
101
→
101 - 1
6
101
6
(Resposta)