Podemos afirmar que taxa de variação do volume V de um cubo em relação ao comprimento x de sua aresta é igual a:

O volume de um cubo centrado na origem de um sistema de eixos tridimensional é : V = xyz. Como você quer a variação de V em relação ao comprimento x, então basta derivar parcialmente (derivadas parciais) nossa função V em relação a x, e considerar y e z constantes. Assim, nossa taxa de variação é: V´(x,y,z) = yz   (derivadas parciais).

Uma vez que essa é uma questão de taxas relacionadas, vamos representar o volume do cubo em forma de função onde a variável é sua aresta. Seja:

\(V\) o volume do cubo

\(x\) a aresta do cubo

Temos:

\(V(x)= x^3\)

A taxa de variação do volume em relação ao comprimento da aresta é dado pela derivada do volume em relação à aresta, ou seja,\(\frac{dV}{dx}\) :

\(\frac{dV}{dx}=\frac{d(x^3)}{dx}\)

Resolvendo essa derivada, temos:

\(\frac{dV}{dx}=\frac{d(x^3)}{dx}= 3x^2\)

Portanto, A taxa de variação do volume em relação ao comprimento da aresta é \(\boxed{\frac{dV}{dx}= 3x^2}\)