Como calcular a expansão da Série de Maclaurin da função f(x)= ln(x) ?

 As séries de Taylor são compostas por uma somatória infinita de polinômios com coeficientes definidos pelas derivadas em um ponto a de uma f(x) infinitamente derivável. Ou seja:

As séries de Taylor podem ser chamadas de séries de Maclaurin quando a somatória é feita no ponto a=0. Portanto temos:

Estas séries são usadas para aproximação da função f(x) no ponto dado. Apresentarei alguns exemplos de diferentes séries de Maclaurin.

A primeira função que vamos estudar é f(x)=ex. Esta função apresenta todas as suas derivadas iguais, ou seja,

\(f(x)=f’(x)=f’’(x)=...=ex. E f(0)=1\). Temos então que a série de Maclaurin M(x) é

\(M(x)=1 + x + x²/2! + x³/3! + ... + xn/n!\)

Para a função f(x)=sen(x), temos:

\(f(x) = f’’’’(x) =sen(x) => f(0)=0\)
\(f’(x) = f’’’’’(x) = cos(x) => f’(0)=1\)
\(f’’(x) = f’’’’’’(x) = -sen(x) => f’’(0)=0\)
\(f’’’(x) = f’’’’’’’(x) = -cos(x) => f’’’(x)=-1\)

Fonte: http://matematicaemteste.blogspot.com/2010/09/