Um retângulo deve ser inscrito em uma semicircunferência de raio a > 0. Qual é a maior área que o retângulo pode ter e quais são as suas dimensões?

Desenhando o retângulo dentro do círculo, o diâmetro do círculo, a base do retângulo e a altura do retângulo formam um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o diâmetro do círculo. 
Ou seja, 
d² = b² + h² 

A área que queremos maximizar e' 
a = bh 

b =√(d² - h²) 
a = h√(d² - h²) 
d é constante 
a' = √(d² - h²) + [h/(2√(d² - h²))](-2h) 

a' = √(d² - h²) - [2h²/(2√(d² - h²))] 
a' = 0 => √(d² - h²) - [2h²/(2√(d² - h²))] = 0 
√(d² - h²) = [h²/(√(d² - h²))] 
(d² - h²) = h² 
d² = 2h² 
d = h√2 

h = d√2/2 
Substituindo o valor de h, temos b = d√2/2 

Ou seja, o maior retângulo inscrito em um círculo é um quadrado de área d²/2.

no nosso caso como o raio é "a", teremos a área = (2a)²/2 = 2a²