Questão resolvida - Ache as dimensões do retângulo de área máxima inscrito em um círculo de raio r - problema de otimização - Cálculo I

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Ache as dimensões do retângulo de área máxima inscrito em um círculo de raio r.
 
Resolução:
 
Considerando que o retângulo inscrito no círculo tenha como base x e altura y, um esboço 
desse retângulo inscrito no círculo pode ser visto abaixo:
 
Perceba que a base x, a altura y e o diâmetro do círculo 2r formam um triângulo retângulo, 
pelo teorma de Pitagoras, podemos relacioná-los;
2r = x + y x + y = 4r( )2 2 2 → 2 2 2
 
Isolando y, temos : y = 4r - x y =2 2 2 → 4r - x2 2
 
A área do retângulo é dada por : A = xy
 
Substituindo a expressão encontrada para y anteriormente, fica :
 
A x = x( ) 4r - x2 2
 
Para achar os pontos críticos da função, devemos derivar A x ;( )
 
A x = x A x = x 4r - x( ) 4r - x2 2 → ( ) 2 2
1
2
A' x = 1 ⋅ 4r - x + x ⋅ ⋅ 4r - x ⋅ -2x→ ( ) 2 2
1
2 1
2
2 2
-1
1
2
( )
 
 
x
y2r
A' x = 4r - x - x 4r - x A' x = 4r - x -( ) 2 2
1
2 2 2
-1
2
→ ( ) 2 2
1
2 x
4r - x2 2
1
2
 
A' x = A' x =( )
4r - x ⋅ 4r - x - x
4r - x
2 2
1
2 2 2
1
2
2 2
1
2
→ ( )
4r - x - x
4r - x
2 2
1
2
2
2 2
1
2
 
A' x = A' x = A' x =( )
4r - x - x
4r - x
2 2
2
2
2 2
1
2
→ ( )
4r - x - x
4r - x
2 2
2 2
1
2
→ ( )
4r - 2x2 2
4r - x2 2
 
Para descobrir os pontos críticos devemos fazer A' x = 0 e resolver a expressão;( )
 
= 0 4r - 2x = 0 -2x = - 4r × -1 2x = 4r x =
4r - 2x2 2
4r - x2 2
→
2 2
→
2 2 ( ) → 2 2 → 2
4r
2
2
x = 2r x = ± x = ± r2 2 → 2r2 → 2
 
como se uma medida de comprimento, descartamos o valor negativo, assim, o ponto crítico 
acontece quando x = r, para saber se é ponto de máximo ou mínimo substituimos em2
A' x um ponto anterior a r x = r e um ponto posterior a r x = ;( ) 2 ( ) 2
3r
2
 
x = r A' r = A' r = > 0 não precisa resolver todo o cálculo→ ( )
4r - 2r2 2
4r - r2 2
→ ( )
2r2
3r2
( )
 
 
x = A' r = A' r =
3r
2
→ ( )
4r - 22
3r
2
2
4r -2
3r
2
2
→ ( )
4r - 2 ⋅2
9r
4
2
4r -2
9r
4
2
→
 
 
A' r = A' r =( )
4r -2
9r
2
2
16r - 9r
4
2 2
→ ( )
8-9r
2
2
7r
4
2
A' r = < 0 não precisa resolver todo o cálculo( )
-
r
2
2
2
7r2
( )
 
Disso, concluímos que :
Com isso, concluímos que é a dimensão de base que dá a área máxima do x = r2
retângulo, agora, vamos encontrar y substituindo esse x máximo na expressão econtrada 
através do teorema de Pitagoras;
y = y = y = y = y = r4r - x2 2 → 4r - r2 2
2
→ 4r - 2r2 2 → 2r2 → 2
Finalmente, as dimensões de x e y para que o quadrado inscrito num círculo de raio r tenha 
área máxima são:
x = r e y = r 2 2
 
 
decrescecre
sce
r2
(Resposta )