Um retângulo deve ser inscrito em uma semicircunferência de raio 2. Qual é a maoir área que o retângulo pode ter e quais são suas dimensões ?

Considerando a circunferência inteira de raio=2 teremos inscrito um quadrado com diagonal =4, logo usando o teorema de pitágoras teremos:

4²=l²+l² 

16= 2l², l=2√2

no caso de uma circunfeência, teríamos um quadrado de l=2√2, como temos uma semicircunferência teremos um retângulo com

as seguintes dimensões: 2√2 x √2 (dividimos l/2) = área máxima de 4

Para visualizar melhor a situação, veja a figura:

https://uploaddeimagens.com.br/imagens/trian-png-d59ce965-0969-4b2d-9342-e030e2d119fc

Vamos encontrar a altura h em função da base b no triangulo desenhado usando pitagoras:

\(2^2=h^2+b^2\)

Assim:

\(h=\sqrt{4-b^2}\)

Sabemos que a área do retângulo é:

\(A=Bh\)

Nesse caso, a base do retângulo é 2b

\(A=2bh\)

Vamos substituir a expressão \(h=\sqrt{4-b^2}\)na equação da área:

\(A=2bh\)

\(A=2b\sqrt{4-b^2}\)

Para encontrar os valores máximos, devemos encontrar o ponto critico e isso é feito derivando e igualando a zero:

\(A=2b\sqrt{4-b^2}\)

\(A'=2.\frac{1}{2}(4b^2-b^4)^{-1/2}.(8b-4b^3)\)

\(A'=\frac{8b-4b^3}{\sqrt{4b^2-b^4}}\)

\(\frac{8b-4b^3}{\sqrt{4b^2-b^4}}=0\)

\(8b-4b^3=0\)

\(8b=4b^3\)

\(\boxed{b=\sqrt2}\)

Substituindo em \(h=\sqrt{4-b^2}\):

\(h=\sqrt{4-\sqrt2^2}\\ \boxed{h=\sqrt2}\)

A área é: 

\(A=2\sqrt2\sqrt2\\ \boxed{A=4}\)