Questão resolvida - Ache as dimensões do retângulo de área máxima inscrito em um círculo de raio 3sqrt(2) - problema de otimização - Cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
Ache as dimensões do retângulo de área máxima inscrito em um círculo de raio .3 2
 
Resolução:
 
Considerando que o retângulo inscrito no círculo tenha como base x e altura y, e que seu 
diâmetro é um esboço desse retângulo inscrito no círculo pode ser visto 6 2 2 ⋅ 3 2
abaixo:
 
Perceba que a base x, a altura y e o diâmetro do círculo formam um triângulo 6 2
retângulo, pelo teorma de Pitagoras, podemos relacioná-los;
6 = x + y x + y = 722
2
2 2
→
2 2
 
Isolando y, temos : y = 72 - x y =2 2 → 72 - x2
 
A área do retângulo é dada por : A = xy
 
Substituindo a expressão encontrada para y anteriormente, fica :
 
A x = x( ) 72 - x2
 
Para achar os pontos críticos da função, devemos derivar A x ;( )
 
A x = x A x = x 72 - x( ) 72 - x2 → ( ) 2
1
2
A' x = 1 ⋅ 72 - x + x ⋅ ⋅ 72 - x ⋅ -2x→ ( ) 2
1
2 1
2
2
-1
1
2
( )
 
 
x
y
6
2
A' x = 72 - x - x 72 - x A' x = 72 - x -( ) 2
1
2 2
-1
2
→ ( ) 2
1
2 x
72 - x2
1
2
 
A' x = A' x =( )
72 - x ⋅ 72 - x - x
72 - x
2
1
2 2
1
2
2
1
2
→ ( )
72 - x - x
72 - x
2
1
2
2
2
1
2
 
A' x = A' x = A' x =( )
72 - x - x
72 - x
2
2
2
2
1
2
→ ( )
72 - x - x
72 - x
2
2
1
2
→ ( )
72 - 2x2
72 - x2
 
Para descobrir os pontos críticos devemos fazer A' x = 0 e resolver a expressão;( )
 
= 0 72 - 2x = 0 -2x = - 72 × -1 2x = 72 x =
72 - 2x2
72 - x2
→
2
→
2 ( ) → 2 → 2
72
2
x = 36 x = ± x = ±62 → 36 →
 
como se uma medida de comprimento, descartamos o valor negativo, assim, o ponto crítico 
acontece quando x = 6, para saber se é ponto de máximo ou mínimo substituimos em
A' x um ponto anterior a 6 x = 4 e um ponto posterior a 6 x = 7 ;( ) ( ) ( )
 
x = 4 A' r = A' r = > 0 não precisa resolver todo o cálculo→ ( )
72 - 2 4( )2
72 - 4( )2
→ ( )
36
56
( )
 
 
x = 7 A' r = A' r = < 0 não precisa resolver todo o cálculo→ ( )
72 - 2 7( )2
72 - 7( )2
→ ( )
-26
23
( )
 
Disso, concluímos que :
 
 
Com isso, concluímos que é a dimensão de base que dá a área máxima do retângulo, x = 6
agora, vamos encontrar y substituindo esse x máximo na expressão enontrada atravézs do 
teorema de Pitagoras;
y = y = y = y = y = 672 - x2 → 72 - 6( )2 → 72 - 36 → 36 →
Finalmente, as dimensões de x e y para que o quadrado inscrito num círculo de raio r tenha 
área máxima são:
x = 6 u. c. e y = 6 u. c.
 
 
decrescecre
sce
6
(Resposta )