Como integrar em coordenadas polares ?

Não existe muita lógica fora do decorar. Para uma integral em coordenadas retangulares \(\int \int f(x,y) dx dy\), ao aplicar \(x = r \cos \theta\) e \(y = \sin \theta\), teremos transformação do infinitesimal \(dy dx = r dr d\theta\). Assim, a integral se torna:

\(\boxed{\int \int f(r \cos \theta, r \sin \theta) r dr d\theta}\)

Por Fubini, escolhe-se a mais simples ordem de integração.

Vocˆe deve se lembrar da id´eia de usar coordenadas polares no plano. Com rela¸c˜ao a uma origem fixada, deve-se dizer qual a distˆancia e para qual dire¸c˜ao se deve caminhar para atingir este ponto. A distˆancia ´e dada pela coordenada radial r e a dire¸c˜ao ´e dada fixando-se uma semi-reta e definindo um ˆangulo θ em rela¸c˜ao a ela (por conven¸c˜ao medido no sentido anti-hor´ario). Se usamos a mesma origem para coordenadas cartesianas e para coordenadas polares e como semi-reta de referˆencia usamos a parte positiva do eixo x, temos a seguinte express˜ao para mudan¸ca de coordenadas: x = r cos θ, y = r sen θ.