derivada parcial da funcao: f(x)= 3x^5+45t^2 dt

na derivada parcial, tudo que não ta dentro do "dt" por exemplo no seu exercicio, se torna constante. a resposta seria: 90t.

A derivada parcial nada mais é que a derivada em uma das variáveis mantendo a outra constante. Como não foi definido em que variável devemos derivar, vamos fazer os dois casos. Para a derivada parcial da função na variável \(x\), temos:

\(\begin{align} {\partial f \over \partial x} &= {\partial \over \partial x}\left(3x^5+45t^2\right)\\ &= {\partial \over \partial x}\left(3x^5\right)+ {\partial \over \partial x}\left(45t^2\right)\\ &= 3\cdot 5x^4+ 0\\ &=15x^4 \end{align}\)

Aplicando os mesmos cálculos em relação à variável \(t\), temos:

\(\begin{align} {\partial f \over \partial t} &= {\partial \over \partial t}\left(3x^5+45t^2\right)\\ &= {\partial \over \partial t}\left(3x^5\right)+ {\partial \over \partial t}\left(45t^2\right)\\ &= 0+ 45\cdot 2t\\ &=90t \end{align}\)

Logo as derivadas parciais da função \(f(x)= 3x^5+45t^2\) são:

\(\boxed{{\partial f \over \partial x} =15x^4}\ \boxed{{\partial f \over \partial t} = 90t}\)