Determine uma equação da reta tangente à curva y2 - x3 = 0 que passa pelo ponto (2,4)

Para encontrarmos a equação da reta tangente à uma curva, vamos utilizar a equação da reta :

\(y-y0= m (x-x0)\) onde y0 e x0 são os pontos por onde a reta passa e m é o coeficiente angular

Para descobrir o coeficiente angular, vamos derivar a curva \(y^2 - x^3 = 0\)

Antes, vamos simplificá-la:

\(y^2 - x^3 = 0\\ y=\sqrt{x^3}\\ y= x^{\frac{3}2}\)

Para derivar essa função, devemos usar a regra : se \(y= u^n\) então sua derivada é \(y= n.u^{n-1}\)

Assim:

\(y= x^{\frac{3}2}\\ y'= m = \frac{3}2. x^\frac{1}2\)

Assim, m no ponto (2,4) é:

\(m = \frac{3}2. 2^\frac{1}2\)

 \(m=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

Agora podemos montar a equação da reta tangente:

\(y-y0= m (x-x0)\)

\(y-4=\frac{3\sqrt{2}}{2}(x-2)\) 

\(y=\frac{3\sqrt{2}}{2}x-\frac{3\sqrt{2}}{2}.2+4\)

Portanto, a equação da reta será:

\(\boxed{y=\frac{3\sqrt{2}}{2}x-3\sqrt2+4}\)

Y^2-X^3=0