Resolva a equação diferencial homogênea dy/dx = ( y + x) / x

dy/dx = v+dv/dx

y=x.v

v+x.dv/dx = xv+x/x

v+x.dv/dx= v+1

x.dv/dx=1

x.dv=dx

| dv = | dx/x  

v = ln x+c

y/x = lnx+c

y= xlnx+xc

Vamos reescrever a equação diferencial da seguinte forma:

\({dy\over dx} - {1\over x}y =1\)

Multiplicando pelo fator integrante \(\mu(x)\), temos:

\(\mu{dy\over dx} - \mu{1\over x}y =\mu\)

Mas temos a derivada do produto do fator integrante pela solução:

\({d\over dx}(\mu y)=\mu{dy\over dx}+y{d\mu\over dx}\)

Fazendo analogia com a expressão anterior, vamos impor:

\(y{d\mu\over dx}=-\mu{1\over x}y\Rightarrow {d\mu\over dx}=-\mu{1\over x}\)

Separando as variáveis, temos:

\({d\mu\over \mu}=-{dx\over x}\)

Integrando, temos:

\(\int{d\mu\over \mu}=-\int{dx\over x}\Rightarrow \ln\mu=-\ln x\Rightarrow \mu={1\over x}\)

Substituindo na equação original, temos:

\({1\over x}{dy\over dx} - {1\over x^2}y ={1\over x}\)

Como impusemos ao fator integrante, o lado esquerdo da igualdade é a derivada do produto do fator integrante pela solução:

\({d\over dx} \left({1\over x} y\right)={1\over x}\)

integrando em relação a x, temos:

\(\int{d\over dx} \left({y\over x}\right)\ dx=\int {1\over x}\ dx\Rightarrow {y\over x}=\ln x+C\)

Temos, finalmente:

\(\boxed{y(x)=Cx+x\ln x}\)