Dada a equação 4x2+9y2=1 e dxdt=3, calcule dydt quando (x,y)=(122,132).

9y^2+7=0

Temos a seguinte equação:

\(4x^2+9y^2=1\)

Derivando em relação a \(t\), temos:

\({d\over dt}(4x^2+9y^2)={d\over dt}(1)\)

Usando a propriedade linear da derivada e a derivada da constante, temos:

\(4{d\over dt}(x^2)+9{d\over dt}(y^2)=0\)

Usando a regra da cadeia, temos:

\(4{d\over dx}(x^2){dx\over dt}+9{d\over dy}(y^2){dy\over dt}=0\)

Derivando, temos:

\(8x{dx\over dt}+18y{dy\over dt}=0\)

É dado no enunciado que

\(\left({dx\over dt},x,y\right)=(3,122,132)\)

Substituindo na expressão obtida, temos:

\(4\cdot122\cdot3+9\cdot 132{dy\over dt}=0\)

Dividindo a equação por 12, temos:

\(122+9\cdot 11{dy\over dt}=0\)

Temos, finalmente, que:

\(\boxed{{dy\over dt}=-{122\over99}}\)