Prove que todo corpo é um anel de integridade

Um corpo é um anel com elemento unidade 1, onde todo elemento -{0}(elemento neutro da +) possui inverso.
Um domínio de integridade (ou anel de integridade) é um anel comutativo(vale a comutatividade na segunda operação(1) ) com elemento unidade e não possui divisores próprios do zero(2).

Todo corpo é domínio de integridade. Prova:
Seja C um corpo. Como vale o elemento inverso em C, a.a'=a'.a=1, logo também vale a comutatividade para a segunda operação. (1)
Suponha por absurdo que 0 tem inverso. 
0.0'=1
0.0' + 0 = 1 + 0
0.(0' + 0) = 1
0 = 1