Neste exercício, deve-se encontrar uma reta paralela a reta \(r: 8x+6y-14 = 0\).

A reta r está no formato \(Ax + By + C =0 \), com \(A_r=8\), \(B_r=6\) e \(C_r=-14\). Portanto, uma reta s paralela a essa deve possuir os mesmos valores de \(A\) e \(B\). Portanto, a equação da reta s fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow s: 8x + 6y + C_s = 0\)

A equação da distância entre duas retas paralelas é:

\(\Longrightarrow d = {|C_s - C_r| \over \sqrt{A^2 + B^2}}\)

Pelo enunciado, tem-se que \(d=4\). Portanto, o valor de \(C_s\) é:

\(\Longrightarrow 4 = {|C_s - (-14)| \over \sqrt{8^2 + 6^2}}\)

\(\Longrightarrow 4 = {|C_s +14| \over \sqrt{100}}\)

\(\Longrightarrow 4 = {|C_s +14| \over 10}\)

\(\Longrightarrow |C_s +14| = 40\)    \(\to \left \{ \begin{matrix} C_{s,1} + 14 =40 \\ C_{s,2} + 14 =-40 \end{matrix} \right.\)    \(\to \left \{ \begin{matrix} C_{s,1} =26 \\ C_{s,2} =-56 \end{matrix} \right.\)

Portanto, existem duas retas que atendem o enunciado. Essas duas retas são:

\(\Longrightarrow s: 8x + 6y + C_s = 0\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} s_1: 8x + 6y + 26 = 0 \\ s_2: 8x + 6y -56 = 0 \end{matrix} \right. $}\)