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Limites

Se f(1) = 5 lim quando x tende a 1 f(x) deve existir?Se existir,então f(x) deve ser igual a 5?Podemos concluir alguma coisa sobre lim x tende a 1 f(x)?Explique

Cálculo I

UFSC


1 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

O exercício nos diz que \(f(1)=5\). Isso nos leva a alguma conclusão sobre \(L=\lim\limits_{x\rightarrow1}f(x)\)? A resposta é NÃO.

Isso ocorre porque não sabemos como a função é definida. Vamos supor que sua definição seja:

\(f(x)=x+4\)

Nesse caso, sim, teremos \(\lim\limits_{x\rightarrow1}f(x)=5\), mas existem funções para as quais isso não é verdadeiro. Vamos supor a seguinte função:

\(f(x)=\left\lbrace\begin{align} 1, \ \ \ x\neq1\\ 5, \ \ \ x=1 \end{align}\right.\)

Nesse caso, teremos \(\lim\limits_{x\rightarrow1}f(x)=1\), já que para qualquer \(x\neq1\), temos \(f(x)=1\) e para um limite o valor é próximo de 1, mas não igual a ele.

Por último, vamos estudar a seguinte função:

\(f(x)=\left\lbrace\begin{align} 1, \ \ \ x<1\\ 5, \ \ \ x=1\\ 9, \ \ \ x>1 \end{align}\right.\)

Nesse caso, teremos que não existe  \(\lim\limits_{x\rightarrow1}f(x)\), já que os limites laterais não são iguais entre si.

Logo não podemos afirmar nada sobre o limite de uma função em um determinado ponto sabendo apenas o valor da função naquele ponto.

O exercício nos diz que \(f(1)=5\). Isso nos leva a alguma conclusão sobre \(L=\lim\limits_{x\rightarrow1}f(x)\)? A resposta é NÃO.

Isso ocorre porque não sabemos como a função é definida. Vamos supor que sua definição seja:

\(f(x)=x+4\)

Nesse caso, sim, teremos \(\lim\limits_{x\rightarrow1}f(x)=5\), mas existem funções para as quais isso não é verdadeiro. Vamos supor a seguinte função:

\(f(x)=\left\lbrace\begin{align} 1, \ \ \ x\neq1\\ 5, \ \ \ x=1 \end{align}\right.\)

Nesse caso, teremos \(\lim\limits_{x\rightarrow1}f(x)=1\), já que para qualquer \(x\neq1\), temos \(f(x)=1\) e para um limite o valor é próximo de 1, mas não igual a ele.

Por último, vamos estudar a seguinte função:

\(f(x)=\left\lbrace\begin{align} 1, \ \ \ x<1\\ 5, \ \ \ x=1\\ 9, \ \ \ x>1 \end{align}\right.\)

Nesse caso, teremos que não existe  \(\lim\limits_{x\rightarrow1}f(x)\), já que os limites laterais não são iguais entre si.

Logo não podemos afirmar nada sobre o limite de uma função em um determinado ponto sabendo apenas o valor da função naquele ponto.

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De

Há mais de um mês

Tome f(x) = { ((x^2)-1)/(x-1) para x ≠ 1 e  { 5 , para x =1 }

Desta forma lim f(x) quando x tende a 1 existe, porém não é igual a 5.

prova: lim f(x) quando x tende a 1 é igual a lim (x+1) quando x tende a 1, que por sua vez resulta em 2.

conclusão: O limite de uma função, não é necessariamente igual ao valor do ponto f(a). " 5 ≠ 2"

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas