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Dado um homomorfismo f: K-> L, prove que f(0)=0

Cálculo I

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Adler

Há mais de um mês

Num corpo K, o elemento 0 é o elemento neutro da adição, ou seja, 0+x=x+0=x para todo x em K. Em particular, você tem que 0=0+0. Assim, você tem que f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) (pois f é um homomorfismo e vale que f(x+y)=f(x)+f(y), para todo x,y em K). Em L existe o elemento inverso para adição, isto é, para todo y em L existe -y em L tal que y-y=-y+y=0. Em particular, em L existe -f(0). Logo somando -f(0) em ambos lado da igualdade f(0)=f(0)+f(0), tem-se f(0)+(-f(0)) = f(0)+f(0)+(-f(0)). Portanto, 0= f(0).
Num corpo K, o elemento 0 é o elemento neutro da adição, ou seja, 0+x=x+0=x para todo x em K. Em particular, você tem que 0=0+0. Assim, você tem que f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) (pois f é um homomorfismo e vale que f(x+y)=f(x)+f(y), para todo x,y em K). Em L existe o elemento inverso para adição, isto é, para todo y em L existe -y em L tal que y-y=-y+y=0. Em particular, em L existe -f(0). Logo somando -f(0) em ambos lado da igualdade f(0)=f(0)+f(0), tem-se f(0)+(-f(0)) = f(0)+f(0)+(-f(0)). Portanto, 0= f(0).

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