No equilíbrio:

\(P = kx \\ 1,6N = k \cdot 0,82m \\ k = 1,95 \frac{N}{m}\)

Com a constante de mola em mãos, podemos montar a EDO do sistema massa-mola:

\(mx'' + bx' + kx = 0, \ x(0) = 0,2\)

\(b = 1\) (pois a resistência é numericamente igual à velocidade instantânea, que é a parcela x')

\(m = \frac{P}{g} \to m = 0,16kg\)

Logo:

\(0,16x'' + x' + 1,95x = 0, \ x(0) = 0,2, x'(0) = 0,1\)

Pela equação característica, teremos:

\(0,16\lambda^2 + \lambda + 1,95 = 0\)

As raízes são complexas \(\lambda_{1,2} = -3,125 \pm 1,556i\), ou seja, a solução é do tipo:

\(x(t) = C_1 e^{-3,125t} \sin (1,556 t) + C_2 e^{-3,125t} \cos (1,556 t)\)

Com as duas condições iniciais, formamos um sistema com \(C_1\) e \(C_2\), de onde sai a resposta final:

\(\boxed{x(t) = 0,456 e^{-3,125t} \sin (1,556 t) + 0,2 e^{-3,125t} \cos (1,556 t)}\)

A questão me pareceu mais um problema de modelagem que resolução de EDO propriamente dita. Por isso simplifiquei os últimos passos.