Exercício de Energia cinética

Pai: Kp =(mp*vp^2)/2

Filho: Kf=(mf*vf^2)/2

Temos que 2Kp=Kf  2mf=mp

E foi dito que se vp'=vp+1 então Kp=Kf.

Agora, você tem 2 equações e 2 incógnitas (vf e vp), tem que cortar as massas.

2*(mp*(vp)^2)/2 = (mf*vf^2)/2  (Eq 1 - Antes)

2mf*vp^2=(mf*vf^2)/2

4vp^2=vf^2 (EQ 1) <<<<<<<<

(mp*(vp+1)^2)/2 = (mf*vf^2)/2  (Eq 2 - Depois)

2mf*(vp+1)^2=mf*vf^2

2(vp+1)^2=vf^2 (EQ 2) <<<<<<<<<

Substituindo o vf^2 da EQ 1 na EQ 2: 

2(vp+1)^2=4vp^2

vp^2+2vp+1=2vp^2

vp^2-2vp-1=0  (Eq do 2° grau) >> Bhaskara:

Raízes: vp=2.4 m/s e -0.41 m/s (Resp é 2.4 m/s (a escalar não pode ser negativa))

vp=2.4 m/s

vf=1.2 m/s

Sendo \(E_p\) a energia cinética do pai e \(E_f\) a energia cinética do filho, tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} E_p = {1 \over 2}m_pv_p^2 \\ E_f = {1 \over 2}m_fv_f^2 \end{matrix} \right.\)

Sendo \(m_p\) e \(m_f\) as massas e \(v_p\) e \(v_f\) as velocidades.

a)

Se o pai aumentar a velocidade em \(1 \, \mathrm {m/s}\), sua nova energia cinética \(E_p^{'}\) é:

\(\Longrightarrow E_p^{'} = {1 \over 2}m_p(v_p+1)^2\)

O enunciado diz que \(E_p^{'}\) é igual a \(E_f\). Portanto, tem-se a seguinte equação:

\(\Longrightarrow E_p^{'} = E_f\)    \((I)\)

O enunciado também diz que \(E_p={1 \over 2}E_f\). Portanto, substituindo a equação \((I)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow E_p={1 \over 2}E_f\)

\(\Longrightarrow E_p={1 \over 2}E_p^{'}\)

\(\Longrightarrow {1 \over 2}m_pv_p^2={1 \over 2}\cdot {1 \over 2}m_p(v_p+1)^2\)

\(\Longrightarrow v_p^2={1 \over 2}(v_p+1)^2\)

\(\Longrightarrow 2v_p^2=(v_p+1)^2\)

\(\Longrightarrow 2v_p^2=v_p^2 + 2v_p+1\)

\(\Longrightarrow v_p^2- 2v_p-1=0\)

Pela Fórmula de Bhaskara, o valor de \(v_p\) é:

\(\Longrightarrow v_p = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\Longrightarrow v_p = {-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1 \cdot (-1)} \over 2\cdot 1}\)

\(\Longrightarrow v_p = {2 \pm \sqrt{4\cdot 2} \over 2}\)

\(\Longrightarrow v_p = {2 \pm 2\sqrt{ 2} \over 2}\)

\(\Longrightarrow v_p = 1 \pm \sqrt{ 2}\)

Considerando \(v_p\) positivo, o valor da velocidade do pai inicialmente é:

\(\Longrightarrow v_p = 1 +1,414\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ v_p = 2,414 \, \mathrm {m/s} $}\)

b)

Pelo enunciado, tem-se que \(E_p={1 \over 2}E_f\). Portanto, substituindo as expressões conhecidas, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow E_p={1 \over 2}E_f\)

\(\Longrightarrow {1 \over 2}m_pv_p^2={1 \over 2}\cdot {1 \over 2}m_fv_f^2\)

\(\Longrightarrow m_pv_p^2={1 \over 2}m_fv_f^2\)    \((II)\)

Além disso, o enunciado também diz que \(m_f={1 \over 2}m_p\). Portanto, a equação \((II)\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow m_pv_p^2={1 \over 2}m_fv_f^2\)

\(\Longrightarrow m_pv_p^2={1 \over 2} \Big ({1 \over 2}m_p \Big )v_f^2\)

\(\Longrightarrow v_p^2={1 \over 4}v_f^2\)

Portanto, a equação que relaciona a velocidade do pai e do filho é:

\(\Longrightarrow v_p={1 \over 2}v_f\)

\(\Longrightarrow v_f=2v_p\)

Portanto, o valor da velocidade do filho é:

\(\Longrightarrow v_f=2 \cdot 2,414\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ v_f=4,828 \, \mathrm {m/s} $}\)