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No nosso pequeno estudo sobre taxa de variação de funções, vamos tomar duas funções de exemplo:
A taxa de variação de uma função ff num certo intervalo [a,b][a,b] é o número TT dado por:
\(T=f(b)-f(a)/b-a\)
Vamos tomar nossa função \(f(x)=2x+1\) de exemplo e calcular sua taxa de variação no intervalo [0,4]para estudar seu comportamento. Com relação ao intervalo [0,4][0,4], pense no 00 como o ponto de partida e o no 44 como ponto de chegada.
\(T=f(4)-f(0)/4-0\)
\(T=2\)
O resultado acima nos traz algumas informações importantes. A mais importante delas é sem dúvida esta:
A derivada é uma taxa de variação.
Mais especificamente, a derivada é a taxa de variação pontual de uma função. O significado da palavra “pontual” ao qual estamos nos referindo é bastante específico, vamos refletir um pouco.
Considere uma certa função ff e sua taxa de variação TT num intervalo [a–h,a+h]⊂D(f)[a–h,a+h]⊂D(f), com h>0h>0.
Repare que, quanto mais próximo hh estiver de 00, mais próximo de aa os valores do intervalo ficarão.
E cada vez mais sua taxa de variação terá um significado “local”, em torno de a.
Pois bem, a derivada da função ff em aa é o valor da taxa de variação ao fazermos h→0 h→0 (leia-se “h tender a zero”).
Veja novamente a definição de derivada, agora no ponto aa. Repare que estamos fazendo limite exatamente da taxa de variação da função, como definimos logo atrás.
Agora que sabemos que a derivada é uma taxa de variação, fica mais fácil de entender e interpretar o significado por trás da definição. Todas as afirmações abaixo são verdadeiras. Reflita.
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