PRINCÍPIOS BÁSICOS DE TAXAS DE VARIAÇÃO E DERIVADAS

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PRINCÍPIOS BÁSICOS DE TAXAS DE VARIAÇÃO E DERIVADAS
Caros alunos, vamos nos aprofundando cada vez mais nos estudos da matemática do Ensino
Superior. No material anterior, fomos introduzidos ao conceito de limites, onde, em vez de
acessarmos o ponto de uma função, apenas permeamos aquele ponto para descobrir de fato qual o
valor mais próximo possível da função. Isto tem se mostrado útil principalmente quando em
determinados pontos existe uma indeterminação, ou seja, quando não há valor real para uma função
naquele ponto.
Assim, caríssimos, utilizaremos o conceito de limites para explicarmos de forma precisa
dois conceitos básicos que estão interligados, que são as taxas de variação e as derivadas. Este
material possui os seguintes objetivos:
• Comparar taxas de variação e derivadas;
• Listar e exemplificar as derivadas das funções polinomiais e exponenciais.
• Listar e exemplificar as derivadas das funções trigonométricas;
• Listar e exemplificar as derivadas das funções logarítmicas.
Conhecendo os nossos objetivos de aprendizagem, podemos iniciar nossa contextualização a
partir da física com o conceito de velocidade.
Caros, a física é o ramo das ciências exatas que mais faz uso do cálculo diferencial e
integral. No início de seus vinte anos o famoso Isaac Newton já auxiliava no desenvolvimento das
ferramentas que vocês irão aprender em breve (diferentemente de seu professor, que aos vinte e um
chorava um chifre). Newton possuía a ideia, mas não a ferramenta necessária para explicar a sua
ideia, assim, o mesmo se utiliza de conceitos cartesianos (referente ao famoso filósofo matemático
René Descartes) para desenvolver tal ferramenta. O nosso cientista buscava na verdade explicar a
sua lei da gravitação universal, porém esta ferramenta possibilitou todo o desenvolvimento da
física, e por consequência de toda a engenharia, por sua aplicação universal.
Na nossa contextualização, vamos verificar o caminho percorrido por um professor aleatório
entre sua casa em Parnamirim e a universidade onde trabalha, a UnP. O caminho percorrido é de
aproximadamente 17 km e, quando sai de casa cedo da manhã, leva 30 minutos para chegar ao seu
destino. Lembrando que a equação de velocidade pode ser escrita da forma abaixo:
vmédia=
Δ s
Δ t
=
s (t 2)−s (t 1)
t2−t1
Sendo:
• vmédia: velocidade média do objeto que se move;
• Δs: variação da posição do objeto que se move;
• Δt: variação do instante do objeto que se move;
• t1: instante inicial do objeto que se move;
• t1: instante final do objeto que se move;
• s(t1): posição do objeto que se move no instante t1;
• s(t2): posição do objeto que se move no instante t2;
Se fizermos uma releitura da equação acima, podemos verificar que estamos apenas
comparando uma distância percorrida com o tempo gasto para percorrer esta distância. Quando
fazemos este tipo de comparação, na verdade estamos calculando uma taxa de variação. Na prática,
a velocidade média é uma taxa de variação da posição de um objeto que se move em função do
tempo.
Podemos concluir que, para o professor de vocês, a velocidade média que ele desenvolve no
percurso entre a sua casa e o trabalho, se considerarmos sua casa como a origem e zerarmos o
relógio no momento da saída de casa, é:
vmédia=
17km−0 km
30 minutos−0 minutos=
17 km
0,5 h−0 h=
17 km
0,5 h =34km/h
Ou seja, a velocidade média desenvolvida é de 34 km/h. 
Perceba que é uma velocidade bem baixa e que não corresponde às velocidades
desenvolvidas para quem dirige em rodovias, correto? Isto acontece, pois estamos apenas
calculando médias de velocidade e esta média não descreve que em algum momento a velocidade
desenvolvida foi de 80 km/h em grandes retas, ou mesmo as paradas nos sinais de trânsito, onde a
velocidade é igual a 0 km/h.
Vamos supor agora que agora possuímos uma equação que descreva bem um movimento
qualquer. Na física temos o lançamento vertical, que é um tipo de movimento retilíneo uniforme
onde lançamos algo para o alto. Vamos descrever segundo a função abaixo:
y (t)=5t−5 t 2
Por motivos de simplificação, estamos utilizando a aceleração igual a 10 m/s² e uma
velocidade de lançamento igual a 5 m/s. Vamos calcular sua velocidade média entre o instante de
0,1 s e o instante de 0,3 s:
vmédia=
y (t 2)− y (t1)
t2−t1
 
Sendo t1 e t2 os instantes inicial e final escolhidos, vamos achar as posições inicial e final,
pois são funções dos instantes dados:
y (0,1)=5⋅0,1−5⋅0,12=0,5−5⋅0,01=0,5−0,05=0,45metros
y (0,3)=5⋅0,3−5⋅0,32=1,5−5⋅0,09=1,5−0,45=1,05 metros
Agora, vamos substituir o que encontramos na equação da velocidade média:
vmédia=
y (0,3)− y (0,1)
0,3−0,1
= 1,05−0,45
0,2
=0,60
0,2
=3 m /s
Concluímos que a velocidade média de nosso objeto é de 3 m/s, ou seja, o nosso objeto,
durante este intervalo de tempo, está variando positivamente a sua posição na forma de três metros
a cada segundo.
Vamos ver graficamente:
O gráfico acima representa a nossa função trabalhada anteriormente. Vamos descrever o que
estamos vendo:
• Linhas verdes: Descrevem o valor da função y(t) no instante onde t = 0,1 s que é igual a
0,45 metro;
• Linhas vermelhas: Descrevem o valor da função y(t) no instante onde t = 0,3 s que é igual a
1,05 metros;
• Linha preta: Descreve geometricamente a taxa de variação;
• Linha azul: Descreve a função y(t).
A interpretação do gráfico mostra que a taxa de variação é positiva, conforme de fato vimos
nos nossos cálculos. A mesma é positiva, pois comparamos com uma função linear, onde se a
função linear possui esse tipo de comportamento, ela é chamada de função linear crescente. Vamos
ver um caso onde ela se comporta de forma negativa, considerando o que se segue:
• Instante inicial: 0,5 segundos;
• Instante final: 0,8 segundos.
• Posição inicial: 1,25 metros;
• Posição final: 0,80 metros;
• Velocidade média: -1,5 metros por segundo.
Confira as contas e verifique os resultados dados.
Como o resultado é negativo, significa dizer que temos uma taxa de variação negativa, ou
seja, o nosso objeto pode estar perdendo velocidade, ou ele pode estar caindo, visto que estamos
estudando seu lançamento (nos lançamentos verticais, o objeto sobe para então descer, teste você
mesmo jogando uma pedra para cima e tente parar ela com a mão, em vez de parar com a testa).
Veja o gráfico:
Vamos descrever o que vemos:
• Linhas verdes: Descrevem o valor da função y(t) no instante onde t = 0,8 s que é igual a
0,80 metro;
• Linhas vermelhas: Descrevem o valor da função y(t) no instante onde t = 0,5 s que é igual a
1,25 metros;
• Linha preta: Descreve geometricamente a taxa de variação;
• Linha azul: Descreve a função y(t).
Note agora o comportamento da reta que descreve a taxa de variação. Ela, se compararmos
com as nossas funções lineares, podemos ver que o comportamento é decrescente. Vamos às nossas
conclusões:
• A taxa de variação calcula uma média entre dois pontos de uma função;
• Sua representação geométrica é uma reta secante que cruza esses dois pontos na função;
• Se a taxa de variação for positiva, o comportamento da reta secante se assemelha ao
comportamento crescente de uma função linear;
• Se a taxa de variação for negativa, o comportamento da reta secante se assemelha ao
comportamento decrescente de uma função linear.
Agora, você mesmo, calcule as taxas de variação dadas a seguir:
y (t)=5t−5 t 2
Ponto inicial Ponto final Valor da funçãono ponto inicial
Valor da função
no ponto final
Taxa de variação
entre esses pontos
0,1 0,4
0,0 1,0
0,7 1,0
Agora, vamos aprofundar mais o nosso conhecimento questionando algumas coisas básicas.
Inicialmente falamos que a velocidade média não descreve bem o percurso do professor
entre a sua casa e a universidade que
trabalha. O valor encontrado não consegue corresponder à
existência das paradas nos sinais de trânsito e nem nas altas velocidades desenvolvidas em grandes
retas. Lembrem que, apesar de sua velocidade média ser de 34 km/h, ainda é possível que ele seja
multado em um local cuja velocidade máxima é de 80 km/h, pois ali é possível que ele desenvolva a
velocidade de 100 km/h, por exemplo (e esse professor tem mania de ser multado por excesso de
velocidade). Mas como isso é possível?
Os radares de estrada utilizam sensores nas vias separados entre si por uma pequena
distância. Esses sensores medem o tempo que o automóvel leva para percorrer essa pequena
distância, e dessa forma, calculam uma velocidade média muito mais precisa. Pense comigo, em
comparação aos 17 km percorridos pelo professor, o que são 1 m de distância entre os sensores da
estrada? São insignificantes, pois estamos falando de uma distância 17 mil vezes menor. O nosso
objetivo agora é reduzir essa distância de comparação para termos a medida de velocidade mais
precisa possível.
Vamos voltar ao nosso exemplo do lançamento vertical. Agora, eu desejo calcular a
velocidade média para a qual o intervalo de tempo seja cada vez menor, vejam:
y (t)=5t−5 t 2
Instante inicial
(segundos)
Instante final
(segundos)
Posição no
instante inicial
(metros)
Posição no
instante final
(metros)
Velocidade média
(metros por
segundo)
0,4 0,6 1,2 1,2 0
0,4 0,5 1,2 1,25 0,5
0,4 0,45 1,2 1,24 0,8
0,4 0,42 1,2 1,22 1,0
0,4 0,41 1,2 1,21 1,0
Note que, à medida em que reduzimos a diferença entre os pontos, a nossa velocidade
encontrada é cada vez mais precisa. Quanto mais reduzirmos a diferença, teremos a velocidade bem
precisa num determinado ponto, e nosso objetivo é encontrar essa velocidade precisa no ponto onde
t = 0,4 segundos.
Vejamos graficamente:
(A) (B)
(C) (D)
(E)
Vamos descrever as figuras:
• (A): Calculamos a taxa de variação média entre os instantes de 0,4 e 0,6, que é igual a zero.
Note que a reta que descreve a taxa de variação é perfeitamente horizontal, o que sempre
denota uma taxa de variação nula;
• (B): Calculamos a taxa de variação média entre os instantes de 0,4 e 0,5, que é igual a 0,5, e
como é crescente, sua reta se comporta como uma função linear crescente;
• (C): Calculamos a taxa de variação média entre os instantes de 0,4 e 0,45, que é igual a 0,8;
• (D): Calculamos a taxa de variação média entre os instantes de 0,4 e 0,42, que é igual a 1,0;
• (E): Calculamos a taxa de variação média entre os instantes de 0,4 e 0,41, que é igual a 1,0.
Perceba que estamos tomando as linhas verdes e reduzindo o espaço entre seus pontos para
encontrarmos a taxa de variação mais precisa possível num ponto. Outra coisa que vocês devem
perceber que, cada vez que aproximamos os pontos um do outro, também estamos fazendo com que
a nossa reta secante tenda a cada vez mais tangenciar a função. Em outras palavras, em vez de nossa
reta secante cruzar a função em dois pontos, ela irá cruzar em apenas um ponto.
Vamos supôr que iremos agora calcular uma taxa de variação tão pequena, mas tão pequena,
que a diferença entre os pontos seja praticamente nula. Se reduzirmos essa diferença a praticamente
zero, significa dizer que teremos a maior precisão possível. Para isso, vamos chamar de h a
diferença entre os instantes t1 e t2.
Se pudermos recapitular, veremos que h é igual a: (A) 0,2, (B) 0,1, (C) 0,05, (D) 0,02 e (E)
0,01. Agora, vamos escrever a nossa equação da seguinte forma:
v=lim
h→0
y (t 2)− y (t1)
h
Sendo h = t2 – t1, consideramos então t2 = h + t1, portanto, vamos resolver a equação abaixo:
v=lim
h→0
y (t 1+h)− y (t 1)
h
Isto significa dizer que estamos calculando a taxa de variação quando a diferença h entre
dois pontos é tão pequena que ela tende a zero (não é igual a zero). Assim, vamos ver como ficaria
essa diferença para a função que estávamos calculando o tempo inteiro, porém, para o h tendendo a
zero. Primeiro vamos calcular as funções de y:
• y (t1+h)=5⋅(t1+h)−5⋅(t 1+h)
2=5 t1+5h−5⋅( t1
2+2⋅t 1⋅h+h
2)=5 t 1+5h−5 t1
2−10t 1 h−5 h
2
• y (t 1)=5 t 1−5 t1
2
Ou seja, a função composta y(t1+h) é a própria função y(t1) acrescida de um momento h tão
pequeno que chega a ser praticamente insignificante, quase como um piscar de olhos depois (se
formos muito rigorosos na matemática, é ainda menos do que um piscar de olhos). Agora, vamos
substituir na equação do limite para verificarmos a velocidade:
v=lim
h→0
5 t1+5h−5t 1
2−10 t1h−5h
2−[5 t 1−5 t1
2]
h
=lim
h→0
5 t 1+5h−5 t 1
2−10 t1 h−5h
2−5 t1+5 t1
2
h
v=lim
h→0
5 h−10 t 1h−5h
2
h
=lim
h→0
h(5−10 t 1−5 h)
h
=lim
h→0
(5−10 t 1−5h)
v=5−10 t 1−5⋅0=5−10 t1
Na prática, o que ocorreu foi o seguinte. Desenvolvemos os polinômios gerados pelas
funções e conseguimos cancelar os termos de forma que o h do denominador, que geraria uma
indeterminação, desaparecesse da fração. No fim, tivemos uma equação completamente nova onde
posso encontrar a velocidade precisa no instante t1 do movimento de minha partícula. Como
estávamos tentando descobrir essa velocidade no instante de 0,4 segundos, então vamos substituir
na equação que encontramos:
v=5−10⋅0,4=5−4=1,0m /s
Ou seja, a velocidade encontrada acima é a mais precisa possível, pois consideramos a
diferença de tempo tão pequena que era quase insignificante. Veja como também os valores
encontrados na nossa tabela anterior eram precisos, pois à medida que reduzíamos a diferença, o
valor realmente se aproximava cada vez mais de 1,0 m/s.
Outro ponto importante a observar consiste no grau do polinômio encontrado. Nossa função
de posição era y(t) = 5t – 5t², que corresponde a um polinômio de grau dois, enquanto que a função
gerada na taxa de variação é v(t) = 5 – 10t,, o que corresponde a um polinômio de grau um. Então,
conclui-se que essa operação reduz o grau do polinômio trabalhado.
Quando calculamos uma taxa de variação dessa forma precisa, na prática estamos realizando
uma operação de derivação de nossa função. Então, essa última operação que realizamos é a
famosas derivada de uma função.
A definição de derivada consiste no cálculo da taxa de variação de uma função num ponto,
diferentemente da taxa de variação média em si, que ocorre entre dois pontos. Para tal, precisamos
variar a função de tal forma que essa variação é praticamente insignificante, ou seja, dada uma
função qualquer f(x), a sua derivada f'(x) é a razão entre a variação da função entre o ponto x e x+h,
dividido pela variação h, quando esta variação tende a zero:
f ' (x)= lim
h→0
f (x+h)− f (x )
h
Resumindo, vamos diferenciar as taxas de variação definidas pela derivada e pela taxa de
variação média:
Taxa de variação média Derivada
Calcula a taxa de variação média entre dois
pontos de uma função
Calcula a taxa de variação num único ponto de
uma função
Determina o coeficiente angular, ou seja, o grau
da reta que une esses dois pontos
Determina o coeficiente angular da reta que
cruza este ponto
A reta cruza a função em dois pontos distintos A reta tangencia a função
Concluímos também que:
• Reta com comportamento crescente: Taxa de variação média positiva, ou derivada no ponto
positiva, ou coeficiente angular da reta sendo positivo;
• Reta com comportamento decrescente: Taxa de variação média negativa, ou derivada no
ponto negativa, ou coeficiente angular da reta sendo negativo.
Que tal então agora calcularmos as derivadas das duas funções dadas abaixo utilizando a
equação:
f ' (x)=dy
dx
= d
dx
f (x)=lim
h→0
f (x+h)−f ( x)
h
Encontre a função e as derivadas nos pontos pedidos.
Função Derivada da
função
x = 1 x = -1 x = 2
f (x)=5
f (x)=2 x−1
f (x)=−x2
Espera-se que a primeira nos forneça uma derivada igual a zero, a segunda deve nos fornecer
uma derivada igual a uma função constante e a terceira nos dará uma derivada igual a uma função
de primeiro grau.
Na prática, todas os tipos de funções podem ser facilmente tabeladas, e quanto às tabelas,
não se preocupem, elas já foram feitas e estão prontas desde antes de meus pais terem nascido,
portanto eu não cobrarei jamais que as decorem, apenas preciso que resolvam os problemas dados.
Dessa forma, irei apresentar a vocês a seguir, ainda neste material, apenas as derivadas das funções
constante, polinomial, exponencial, trigonométrica (não todas) e logarítmica.
Vamos iniciar com a derivada da função constante, por ser a mais fácil de todas.
Para raciocinarmos e entendermos o resultado da derivada da função constante, devemos
buscar prever qual tipo de resultado que iremos adquirir. Em primeiro lugar, vamos ao nome da
própria função, que é função constante. Se a função é constante significa dizer que ela não varia,
ou seja, se a derivada calcula a taxa de variação, logo a derivada da função constante deve ser igual
a zero. Vamos utilizar a nossa função derivada:
f ' (x)=lim
h→0
f (x+h)−f (x )
h
A função constante é do tipo seguinte:
f (x)=k , sendo kuma constante
Considerando então:
• f(x+h) = k
• f(x)=k
Teremos:
f ' (x)=lim
h→0
k−k
h =limh→ 0
0
h=limh→0
0=0
Ou seja, como previsto, a derivada da função constante é igual a zero:
Função Derivada da função
f (x)=k f ' (x)=0
O que pode ser comprovado graficamente, pois, quando a função é constante, a derivada naquele
ponto é igual a zero e sua reta se apresentará horizontalmente:
Na figura anterior, estamos apresentando a função f(x) = 5 e a linha preta apresenta a reta
que representa a derivada da função no ponto x = 0,5, e ela está perfeitamente horizontal. Isto
significa dizer que a nossa função, naquele ponto, possui derivada igual a zero.
Além das funções constantes, podemos apresentar as derivadas das funções polinomiais. As
funções polinomiais apresentam a seguinte forma:
f (x)=x N
Sendo x a nossa variável e N o expoente da variável. Para demonstrarmos sua derivada,
devemos nos utilizar de ferramentas mais sofisticadas da matemática. Vamos utilizar a nossa função
derivada novamente:
f ' (x)=lim
h→0
f (x+h)−f (x )
h
Temos então que:
• f(x+h) = (x+h)N;
• f(x) = xN.
Substituindo na função:
f ' (x)=lim
h→0
(x+h)N−xN
h
Caros alunos, o nosso maior desafio no momento consiste em desenvolver o termo de
(x+h)N. Perceba que este termo consiste numa potência da soma de dois termos, assim como temos
os nossos produtos notáveis, tais como o quadrado da soma e o cubo da soma de dois termos. É
possível realizar o desenvolvimento deste produto, o que nos demandará um trabalho interessante.
Não se assustem, esse desenvolvimento é um pouco grande, mas no final valerá a pena ter
conhecido mais uma das maravilhas matemáticas.
Em princípio, vamos conhecer o binômio de Newton, pois ele será o responsável pelo maior
auxílio para encontrar os coeficientes do polinômio resultante, veja:
(np)= n!p !(n−p) !
A exclamação indica uma operação chamada de fatorial, onde o número indicado no termo
deve ser multiplicado de seu número inteiro seguinte até chegar no 1, veja:
n !=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅...⋅1
Por exemplo, 3! = 3.2.1 = 6.
Agora, meus queridos, vamos verificar como deve ser escrito uma potência da soma de dois
termos:
(a+b)N=(N0 )aN b0+(N1 )aN−1 b1+(N2 )aN−2 b2+(N3 )aN−3 b3+...+(NN)a0bN
Para verificarmos isso, vamos utilizar como exemplo o quadrado da soma de dois termos,
veja:
(a+b)2=(20)a2b0+(21)a1 b1+(22)a0 b2=(20)a2+(21)a b+(22)b2
Os coeficientes são facilmente encontrados, veja:
(20)= 2!0 !(2−0)!= 2⋅11⋅2!=1 (21)= 2 !1! (2−1)!= 2⋅11⋅1!=2 (22)= 2 !2! (2−2) != 2⋅12⋅0 !=1
Substituindo os coeficientes (perceba que o primeiro e o último coeficiente é igual a 1),
teremos:
(a+b)2=(20)a2+(21)a b+(22)b2=a2+2ab+b2
Vamos agora desenvolver o termo de (x+h)N:
(x+h)N=(N0 ) xN h0+(N1 )x N−1 h1+(N2 ) xN−2 h2+(N3 ) xN−3h3+...+(NN )x0 hN
Se pudermos perceber, todo primeiro e último termo de uma potência de dois termos possui
coeficientes iguais a 1, então teremos:
(x+h)N=xN+(N1 )x N−1 h1+(N2 ) xN−2 h2+(N3 ) xN−3h3+...+hN
Para auxiliar em nosso desenvolvimento, em todos os termos que possuem h, iremos
considerá-lo como fator comum e colocá-lo em evidência:
(x+h)N=xN+h[(N1 ) xN−1+(N2 ) xN−2h+(N3 )x N−3 h2+...+hN−1]
Conhecendo este desenvolvimento, voltamos à função derivada e substituímos o que
encontramos, veja como fica:
f ' (x)=lim
h→0
xN+h [(N1 )x N−1+(N2 ) xN−2h+(N3 )x N−3 h2+ ...+hN−1]−x N
h
Perceba que existem dois termos de xN que se cancelam entre si, então teremos:
f ' (x)=lim
h→0
h[(N1 ) xN−1+(N2 )xN−2h+(N3 ) xN−3 h2+...+hN−1]
h
Agora veja o motivo de termos colocado o h em evidência. Ele irá dividir com o h que está
no denominador, fazendo com que a indeterminação suma da derivada:
f ' (x)=lim
h→0 (N1 ) xN−1+(N2 )x N−2 h+(N3 ) xN−3h2+...+hN−1
Então, podemos substituir todos os h por seu limite que tende a zero, fazendo com que todos
os termos que possuem h sumam:
f ' (x)=(N1 )x N−1
Vamos agora encontrar o desenvolvimento desse binômio de Newton restante para termos o
coeficiente de nosso polinômio:
(N1 )= N !1! (N−1)!=
N⋅(N−1)!
1 !(N−1)!
= N
1!
=N
Portanto, a derivada polinomial será:
f ' (x)=N xN−1
Caros alunos, veja que até mesmo as derivadas mais simples possuem um desenvolvimento
belo de se ver, algo que transcende o conhecimento. Por motivos óbvios, estes desenvolvimentos
não serão apresentados em sala de aula, mas ficam aqui para que vocês mesmos vejam e
contemplem a beleza da matemática.
Em resumo:
Função Derivada da função
f (x)=x N f ' (x)=N xN−1
Isto nos mostra que a derivada possui uma característica interessante. Quando aplicamos a
derivada de uma função para as funções polinomiais, ela faz com que o grau do polinômio caia em
1, ou seja, por exemplo, se derivarmos um polinômio de terceiro grau, o resultado será outro
polinômio de segundo grau.
Vamos verificar isso ao derivarmos a função abaixo:
f (x)=3 x3−2 x2−x+1
Aplicando a derivada, teremos:
f ' (x)= ddx (3 x
3−2 x2−x+1)
Não estranhem, tanto faz escrevermos f'(x) como d/dx, pois os dois denotam que estamos
aplicando a derivada, mas lembrem-se que d/dx NÃO É UMA DIVISÃO (REPITA, NÃO É UMA
DIVISÃO, NÃO É UMA DIVISÃO, NÃO É UMA DIVISÃO… 542345234 VEZES).
A derivada é uma operação onde se aplica a distribuição, então devemos resolver a derivada
de cada termo do polinômio em separado:
f ' (x)= ddx (3 x
3)−
d
dx (2x
2)−
d
dx (x )+
d
dx (1)
Formalmente, a propriedade é a seguinte:
d
dx [ f (x)+g(x )]=
d
dx [ f (x )]+
d
dx [ g(x)]=f ' (x)+g '(x )
Agora, uma segunda propriedade que preciso mostrar a vocês é a de que na derivada de uma
função multiplicada por uma constante, a constante não participa da derivada, veja:
f ' (x)=3 ddx (x
3)−2 ddx (x
2)−
d
dx (x )+
d
dx (1)
Os números 3 e 2 são constantes e saem para multiplicar o resultado da derivada.
Formalmente, escrevemos assim:
d
dx [k f (x)]=k
d
dx [ f (x)]=k f '( x)
Agora, vamos aplicar a derivada polinomial. Aplicando ela, trazemos o expoente para
multiplicar o termo e reduzimos um grau do monômio, veja:
f ' (x)=3 (3 x3−1)−2(2 x2−1)−(1 x1−1)+ ddx (1)
O número 1, que é o último termo do polinômio, irá sumir na nossa derivada, pois o
resultado da derivada de uma constante é igual a zero. Finalizando a nossa derivada multiplicando
os termos de fora do parêntese com os que estão dentro e desenvolvendo os expoentes, teremos:
f ' (x)=9 x2−4 x−1
Veja que o resultado
da derivada de um polinômio de terceiro grau resultou num polinômio
de segundo grau, e esta é a intenção da derivada. Veja seu resultado gráfico:
A curva azul representa o formato típico de uma função de terceiro grau, enquanto que a
curva verde representa uma função de segundo grau, que é a derivada da função de terceiro grau.
Em muito breve veremos o significado disso quando estudarmos pontos críticos, mas vamos deixar
cada etapa para seu tempo.
Que tal exercitarmos agora? Verifique a derivada de cada uma das funções dadas abaixo:
Função Derivada da função
F( x)=x4−2 x2−3
f (x)=3 x2−x−2
f (x)=10 x10−x8
Um exemplo interessante reside na física. Vamos nos lembrar que a derivada de primeira
ordem da posição em função do tempo nos fornece a velocidade e a derivada de segunda ordem da
posição em função do tempo (que é a derivada de primeira ordem da velocidade em função do
tempo) fornece a aceleração. Então é possível demonstrar todas as equações horárias através das
derivadas, veja como o faremos através da função de posição do movimento retilíneo
uniformemente variado:
x (t)=x0+v0 x t+
1
2 a t
2
Como x0, v0x e a são constantes, podemos derivar:
v ( t)=x ' (t)= ddt (x0+v0 x t+
1
2 a t
2)=0+v0x+
2
2 a t
v ( t)=v0 x+at
Se derivarmos novamente, teremos:
v ' ( t)= ddt (v0 x+at )=a
v ' ( t)=a
Isto mostra que a derivada de primeira ordem da velocidade é igual a aceleração.
Terminando esses exemplos da física, que tal agora verificarmos as funções exponenciais?
Primeiramente, vamos conhecer o que é a função exponencial.
A função exponencial é toda função que possui uma base real com um expoente variável:
f (x)=kx
Sendo k o número real e x a variável.
A sua demonstração não é trivial e, para realizar esta demonstração, devo saltar algumas
etapas e me utilizar de alguns recursos não vistos anteriormente. Vamos começar substituindo na
função derivada:
f ' (x)=lim
h→0
f (x+h)−f (x )
h
Considerando então:
• f(x+h) = kx+h
• f(x)=kx
Teremos:
f ' (x)=lim
h→0
k x+h−kx
h
Vamos utilizar a propriedade da potenciação onde ab+c = ab.ac:
f ' (x)=lim
h→0
k x k h−k x
h
=lim
h→0
k x(kh−1)
h
Vamos agora utilizar uma propriedade dos limites, onde podemos separar o produto entre dois
limites no limite dos produtos, veja:
f ' (x)=lim
h→0
k x⋅lim
h→0
(kh−1)
h
Agora é o momento de testar a fé de vocês. Existe uma propriedade chamada de limite
fundamental, e alguns deles já estão previamente tabelados, portanto, utilizarei este recurso em
minha nefasta demonstração. Um destes limites fundamentais é o que se segue abaixo:
lim
x→ 0
ax−1
x
= ln a
Aplicando a regra na nossa resolução, teremos:
f ' (x)=lim
h→0
k x⋅lim
h→ 0
(kh−1)
h
=k x⋅ln k
Vamos compreender cada parte. O ln k corresponde ao logaritmo natural de k, ou seja, este
logaritmo é especial, pois sua base é igual ao número exponencial, que é representado pela letra e e
é aproximadamente igual a 2,712 (sendo um número irracional, tem inúmeras casas após a vírgula).
Em outras palavras, podemos escrever o logaritmo natural da seguinte forma:
ln x=loge x
Assim, também vamos mostrar que a derivada do número exponencial, que é de extrema
importância nas equações diferenciais ordinárias, já possui um resultado tabelado. Vamos substituir
no valor de k o número e:
f ' (x)=ex⋅ln ex
Como ln e = 1, teremos:
f ' (x)=ex
Em resumo, devemos ter o seguinte:
Função Derivada da função
f (x)=kx f ' (x)=kx⋅ln k
f (x)=ex f ' (x)=ex
Continuando nossa divertida jornada pelas derivadas mais famosas, vamos agora mostrar
como ocorrem as derivadas das funções logarítmicas, cuja forma é:
f (x)=loga x
Sendo a a base do logaritmo e x um número real. Para quem não se lembra do estudo dos
logaritmos, podemos escrevê-los da seguinte forma:
logb a= y a=by
Vamos agora relembrar a nossa função derivada:
f ' (x)=lim
h→0
f (x+h)−f (x )
h
Considerando então:
• f(x+h) = loga (x+h)
• f(x) = loga x
Substituindo na função derivada:
f ' (x)=lim
h→0
loga(x+h)− loga x
h
Utilizamos a propriedade dos logaritmos no numerador, onde log (a-b) = log a / log b, então
teremos:
f ' (x)=lim
h→0
1
h loga(
x+h
x )
Agora, utilizando a propriedade dos expoentes do logaritmo, onde b.log a = log ab:
f ' (x)= lim
h→0
log a(
x+h
h
)
1
h=lim
h→ 0
loga(
x
h
+1)
1
h
Para enganar a função, irei aplicar uma mudança de variável, onde chamaremos de c o termo
em que temos h/x, assim também teremos xc = h, veja:
f ' (x)=lim
c→0
log a(c+1)
1
xc=lim
c→ 0
loga[(c+1)
1
c ]
1
x=lim
c→0
1
x
loga(c+1)
1
c
O limite fundamental abaixo deve ser aplicado a parte interna do logaritmo, veja:
lim
x→ 0
(1+kx )
1
x=ek
Então teremos:
f ' (x)=1x log ae
Vamos utilizar a propriedade abaixo para o nosso logaritmo:
loga x=
logb x
logb a
Portanto:
f ' (x)=1
x
log e e
loge a
= 1
x ln a
Agora, para o logaritmo natural, cuja função é a seguinte:
f (x)= ln x
Se sua base é igual a e, então podemos aplicar na derivada, onde teremos:
f ' (x)= 1x ln e=
1
x
Em resumo, devemos ter o seguinte:
Função Derivada da função
f (x)=loga x f ' (x)= 1x ln a
f (x)=ln x f ' (x)=1x
Ufa. Há toda uma maravilha nas demonstrações, mas elas cansam, não é verdade? Enfim,
espero que tenha chegado até aqui, pelo menos. Se chegou, eu gostaria de te parabenizar por estar
lendo até agora dezoito páginas. Isto é um forte indício de alguém que irá passar em cálculo com
média mínima de oito.
Vamos exercitar o que aprendemos até agora derivando a função abaixo:
f (x)=log5 x−e
x+ x2
A derivada desta função não é difícil, pois tudo o que precisamos fazer é aplicar todas as
propriedades vistas até agora. Como vimos em um exemplo anterior, devemos derivar de forma
separada cada termo da função, veja:
f ' (x)= ddx (log5 x−e
x+x2)= ddx ( log5 x)−
d
dx (e
x)+
d
dx (x
2)
Agora, relembrando cada uma das derivadas já tabeladas, aplicamos cada uma delas nos
termos encontrados:
f ' (x)= 1x ln5 −e
x+2 x
Na maioria das vezes vocês realmente irão calcular diversas derivadas utilizando apenas
uma linha, podem confiar. Agora é a vez de vocês mesmos aplicarem nos exercícios abaixo:
Função Derivada da função
f (x)=ln x−2ex+3 x2
f (x)=log12 x−8 x
2−5x
f (x)=5 x3+2 log3 x−
e x
5
Meus caros alunos, a partir de agora iremos demonstrar as derivadas das funções
trigonométricas. Aqui, iremos nos limitar na demonstração das derivadas do seno e do cosseno.
Vamos iniciar pela demostração da derivada do seno:
f (x)=sen x
Voltamos à nossa base, onde a função derivada segue:
f ' (x)=lim
h→0
f (x+h)−f (x )
h
Considerando então:
• f(x+h) = sen (x+h)
• f(x) = sen x
Vamos substituir na função:
f ' (x)=lim
h→0
sen (x+h)−sen x
h
Utilizando a propriedade trigonométrica onde sen(a+b) = sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a),
teremos:
f ' (x)=lim
h→0
sen(x)cos (h)+sen (h)cos(x )−sen(x )
h
=lim
h→0
sen(x)(cos(h)−1)+sen(h)cos (x)
h
Fazendo alguns pequenos ajustes para facilitar a nossa vida:
f ' (x)=lim
h→0
sen(h)cos(x )+sen (x)(1−cos (h))
h
=lim
h→ 0
[
sen (h)
h
cos (x)+sen(x ) 1−cos (h)
h
]
Agora, distribuindo os limites, teremos:
f ' (x)=lim
h→0
sen(h)
h
⋅lim
h→0
cos (x)+ lim
h→0
sin(x )⋅lim
h→ 0
1−cos(h)
h
Então, podemos aplicar os seguintes limites fundamentais:
lim
x→0
sen x
x =1
e lim
x→0
1−cos x
x =0
Substituindo os resultados:
f ' (x)=1⋅lim
h→0
cos (x)+ lim
h→0
sin(x )⋅0=cos (x)
Em resumo, podemos concluir que:
Função Derivada da função
f (x)=sen x f ' (x)=cos x
Da mesma forma, iremos agora demonstrar a derivada da função cosseno, cuja
forma segue 
abaixo:
f (x)=sen x
Voltamos à nossa base, onde a função derivada segue:
f ' (x)=lim
h→0
f (x+h)−f (x )
h
Considerando então:
• f(x+h) = cos (x+h)
• f(x) = cos x
Vamos substituir na função:
f ' (x)=lim
h→0
cos(x+h)−cos x
h
Utilizando a propriedade trigonométrica onde cos(a+b) = cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b),
teremos:
f ' (x)=lim
h→0
cos(x )cos(h)+sen(x )sen(h)−cos (x)
h
=lim
h→0
−cos (x)(1−cos (h))−sen (x)sen(h)
h
Separando o que for necessário:
f ' (x)=lim
h→0
[−
1−cos (h)
h
cos (x)−sen (x) sen(h)
h
]
Distribuindo os limites, teremos:
f ' (x)=−lim
h→ 0
1−cos(h)
h
⋅lim
h→0
cos (x)−lim
h→0
sen(x )⋅lim
h→0
sen(h)
h
Aplicando os limites fundamentais vistos anteriormente:
f ' (x)=−0⋅lim
h→0
cos (x )−lim
h→0
sen (x)⋅1=−sen(x )
Em resumo, devemos considerar então que:
Função Derivada da função
f (x)=cos x f ' (x)=−sen x
Para demonstrarmos as outras funções trigonométricas, tais como a tangente, a secante, a
cotangente e a cossecante, devemos utilizar de propriedades ainda não vistas em derivadas e que
deverão ser apresentadas no próximo material de vocês, até lá, vamos nos deter às derivadas que já
possuímos e apresentá-las apenas por tabelas no final deste material.
Agora, vamos exercitar mais um pouco visualizando como resolvemos a derivada da função
abaixo no ponto onde x = π/2 radianos. Lembrando que a unidade radiano mede a angulação,
assim como o grau. Vejam:
f (x)=sen x−3cos x
Sei bem que o problema pede para calcularmos a derivada em um ponto específico, porém, é
necessário encontrar antes a função da derivada, vamos aplicar tudo o que vimos até agora:
f ' (x)= ddx (sen x−3cos x)=
d
dx (sen x)−
d
dx (3cos x )=cos x−3
d
dx (cos x)
f ' (x)=cos x+3 sen x
Como encontramos a função derivada, agora podemos substituir o ponto dado:
f ' ( π
2
)=cos( π
2
)+3sen ( π
2
)=0+3⋅1=3
O valor encontrado da função no ponto dado denota o coeficiente angular da função f(x) no
ponto onde x = π/2 radianos. Entenda então que, a derivada gera uma função f'(x) em que somos
capazes de definir o coeficiente angular da função f(x) no ponto x que desejarmos. Vamos ver pelo
gráfico dado abaixo:
Interpretando o gráfico, a curva em azul corresponde à função f(x) e a curva em verde é a
sua derivada f'(x). A linha tracejada vermelha marca o ponto x = π/2 radianos, que é
aproximadamente 1,57 radianos. Note que a linha tracejada vermelha cruza a curva em verde
exatamente no ponto onde seu valor é igual a 3, indicando que, naquele mesmo ponto, o coeficiente
angular da reta em preto é igual a 3 também. Lembro que a reta em preto corresponde à
interpretação gráfica da derivada, que é a reta que tangencia a função naquele ponto. Em resumo, no
ponto onde x = π/2 radianos, na função em azul, o coeficiente angular da reta que tangencia a
função lá é igual a 3.
Vamos verificar o mesmo para uma função do tipo abaixo qual a sua derivada no ponto onde
x = 3:
f (x)=x2−ln(x)
Aplicando as propriedades de derivadas:
f ' (x)= ddx (x
2−ln x)= ddx (x
2)−
d
dx ( ln x )=2 x−
1
x
Substituindo para encontrarmos a derivada no ponto pedido, veja:
f ' (3)=2⋅3−13=6−
1
3=
18−1
3 =
17
3 =5,67
Isto significa dizer que o coeficiente angular da reta que tangencia a função f(x) no ponto
onde x = 3 é igual a 5,67. Vamos ver graficamente:
Note o resultado. No ponto onde x = 3, a reta que tangencia a função f(x) (que está em azul)
está em preto. A derivada da função f(x), que é f'(x) é representada pela função dada em verde. A
seta indica o valor de 5,67 que é o coeficiente angular da reta em preto que tangencia f(x).
Agora, vamos verificar para mais uma função. Que tal agora verificarmos o valor da própria
função e de sua derivada para x = 2? Façamos isto para a função abaixo:
f (x)=2x−3 log3 x
Aplicando as derivadas:
f ' (x)= ddx (2
x−3 log3 x )=
d
dx (2
x)−
d
dx (3 log3 x)=2
x ln x−¿
O valor da função no ponto x = 2 é:
f (2)=22−3 log3 2=4−3⋅1,58=4−1,89=2,11
Agora, o valor da derivada da função no ponto x = 2, veja:
f ' (2)=22 ln2− 32 ln 3=2,77−1,36=1,41
Perceba então que, embora o valor da função para x = 2 seja igual a 2,11, a sua derivada
naquele ponto, ou seja, o coeficiente angular da reta que tangencia aquele ponto, é igual a 1,41.
Graficamente, teremos:
Observe que a curva em azul indica a função f(x) e seu valor no ponto x = 2, indicado pela
reta tracejada vertical vermelha, é apresentado pela seta vermelha, que é igual a 2,11. A curva verde
é a derivada f'(x) da função f(x). A seta preta indica o valor do coeficiente angular da reta preta que
tangencia a função f(x), e é igual a 1,41.
Tabela de derivadas
Função Derivada da função Função Derivada da função
f (x)=k f ' (x)=0 f (x)=x N f ' (x)=N xN−1
f (x)=k g (x) f ' (x)=k g ' (x) f (x)=kx f ' (x)=kx ln k
f (x)=g (x)±h(x) f ' (x)=g ' (x)±h' (x) f (x)=ex f ' (x)=ex
f (x)= loga x f ' (x)=
1
x ln a f (x)=ln x f ' (x)=
1
x
f (x)=sen x f ' (x)=cos x f (x)=cos x f ' (x)=−sen x
f (x)=tg x f ' (x)=sec2 x f (x)=sec x f ' (x)=sec x tg x
f (x)=cossec x f ' (x)=−cossec x cot x f (x)=cotg x f ' (x)=−cossec2 x
LISTA DE EXERCÍCIOS
QUESTÃO 1: Resolva as derivadas dadas abaixo.
A f (x)=3 x4−2x−1 F f (x)=3cossec x−x3
B f (x)= log2 x−3 cos x G f (x)=cotg x−cossec x
C f (x)=2cot x−2 ln x H f (x)=2 x10−sec x
D f (x)=3 tg x+5e x−1 I f (x)=log7 x−ln x
E f (x)=5x−2x−1x J f (x)=3 x5−7x
QUESTÃO 2: Para cada uma das funções da QUESTÃO 1 encontre o valor da função e sua
derivada no ponto onde x = 1.
QUESTÃO 3 (modelo de avaliação): As derivadas estão mais presentes na engenharia do que se
imagina. A mecânica dos fluidos possui uma propriedade chamada de vazão Q, onde a mesma
corresponde à taxa de variação do volume em função do tempo dV/dt é o produto da velocidade do
fluido v pela área transversal do duto A por onde ele passa, ou seja:
Q=dV
dt
=vA
Considerando então o volume em função do tempo como V(t) = 3t² – 5t + 1, analise as
afirmações a seguir:
I. A função que descreve a vazão é Q(t) = 6t² – 5t;
II. O valor da função de volume para o instante t = 1 é igual a -1;
III.O valor da vazão para o instante t = 1 é igual a 1.
Está(ão) correta(s) a(s) afirmação(ões):
A) I, apenas.
B) I e II, apenas.
C) III, apenas.
D) II e III, apenas.
E) Todas as afirmações estão corretas.
QUESTÃO 4 (modelo de avaliação): Três propriedades importantes da resistência dos materiais
consistem no momento fletor M(x), o esforço cortante Q(x) e a carga q(x). O momento fletor
determina a flexão de um determinado material, o esforço cortante determina a força perpendicular
aplicada sobre este material e a carga corresponde ao “peso” aplicado sobre este material. Todas
estas propriedades pode ser descrita segundo uma função, sendo que a carga é encontrada a partir da
derivada de primeira ordem do esforço cortante (ou seja, q(x) = Q'(x)), e o esforço cortante é
encontrado a partir da derivada de primeira ordem do momento fletor (ou seja, Q(x) = M'(x)).
Considerando o que foi dito, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
I. Toda derivada de uma função polinomial f(x) resulta numa função f'(x), cujo grau é
uma unidade menor do que o grau da função f(x).
PORQUE
II. A derivada da função Q(x) = x³ – 2x + 1 é igual a q(x) = 3x² – 2.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
B) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
C) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
D) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
E) As asserções I e II
são proposições falsas.
QUESTÃO 5 (modelo de avaliação): O conceito de vibrações é de suma importância para a
engenharia mecânica, visto que seu estudo possibilita projetos seguros para quaisquer tipos de
mecanismos propensos às vibrações. Normalmente, todo tipo de vibração pode ser descrita através
do estudo das funções periódicas, ou as funções trigonométricas. Sabe-se que qualquer função de
posição para uma vibração pode ser descrita segundo um f(x) e a velocidade da vibração pode ser
descrita pela função f'(x) = v(x).
Considerando o que foi dito, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
I. Uma vibração descrita segundo a função f(x) = sen x + cos x possui como função de
velocidade a função v(x) = - cos x + sen x.
PORQUE
II. A derivada de uma função exponencial produz um resultado que possui em si uma
função trigonométrica.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
B) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
C) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
D) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
E) As asserções I e II são proposições falsas.