Exercicio proposto em relação ao conteudo de teoria dos numeros.
n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1) (n^2+1)=n(n+1)(n-1)(n^2+1)
na divisão por 5 temos restos 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4
logo n=5k + r
se n deixa rseto 0 n é da forma n=5k e n é divisor de 30
se n deixa resto 1 n´da forma n=5k+1 (n-1) é divisor de 30 e assim por diante testando todas as formas
Temos que 30 = 2.3.5 portanto teremos que mostrar que n5 – n é divisível por 2, 3 e 5 simultaneamente.
Inicialmente vamos fatorar n5 – n
n5 – n = n.(n4 – 1) = n.(n2 – 1).(n2 + 1) = (n – 1).n.(n + 1).(n2 + 1)
2 | n5 – n
Logo percebemos que n – 1, n e n + 1 são três números consecutivos e em uma sequência de três números consecutivos pelo menos um é par, e então o produto dos três números é par e consequentemente divisível por 2.
3 | n5 – n
Em uma seqüência de três números consecutivos um deles é múltiplo de 3, e então o produto dos três números é divisível por 3.
5 | n5 – n
Um número dividido por 5 deixa resto 0,1,2,3 ou 4. Assim n=5k+r com r ɛ {0,1,2,3,4}
Para r=0 => n=5k
(5k-1).5k.(5k+1).((5k)²+1)
onde (5k-1) ,5k e (5k+1) são três números consecutivos e múltiplo de 5 devido ao termo 5k
Para r=1 => n=5k+1
(5k+1-1).(5k+1).(5k+1+1).((5k+1)²+1)
5k.(5k+1).(5k+2).(5k+1)²+1)
onde 5k ,(5k+1) e (5k+2) são três números consecutivos e múltiplo de 5 devido ao termo 5k
Para r=2 => n=5k+2
(5k+2-1).(5k+2).(5k+2+1).((5k+2)²+1)
(5k+1).(5k+2).(5k+3).(25k²+20k+4+1)
(5k+1).(5k+2).(5k+3).(25k²+20k+5)
(5k+1).(5k+2).(5k+3).(5k²+4k+1).5
onde (5k+1),(5k+2) e (5k+3) são três números consecutivos e (5k+1).(5k+2).(5k+3).(5k²+4k+1).5 é múltiplo de 5 devido ao termo 5
Para r=3 => n=5k+3
(5k+3-1).(5k+3).(5k+3+1).((5k+3)²+1)
(5k+2).(5k+3).(5k+4).(25k²+30k+9+1)
(5k+2).(5k+3).(5k+4).(25k²+30k+10)
(5k+2).(5k+3).(5k+4).(5k²+6k+2).5
onde (5k+2),(5k+3) e (5k+4) são três números consecutivos e (5k+2).(5k+3).(5k+4).(5k²+6k+2).5 é múltiplo de 5 devido ao termo 5
Para r=4 => n=5k+4
(5k+4-1).(5k+4).(5k+4+1).((5k+4)²+1)
(5k+3).(5k+4).(5k+5).((5k+4)²+1)
onde (5k+3),(5k+4) e (5k+5) são três números consecutivos e (5k+3).(5k+4).(5k+5).((5k+4)²+1) é múltiplo de 5 devido ao termo 5 quando no termo (5k+5) colocamos 5 em evidência.
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Introdução à Teoria dos Números
•UNI-FACEF
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